Чтобы понять разрывы функций, нужно сначала определить, что такое разрывы первого и второго рода.

Разрыв первого рода

Разрыв первого рода (или разрыв с конечным пределом) возникает в том случае, когда функция имеет предел в точке разрыва, но не принимает значения в этой точке. Предел функции с обеих сторон (левый и правый) совпадает.

Пример:
Рассмотрим функцию:
[ f(x) = \begin{cases}
1, & x < 0 \
0, & x = 0 \
1, & x > 0
\end{cases} ]

В точке ( x = 0 ) функция не определена (она равна 0 только в самой точке, а не имеет значения в окрестности этой точки, если мы говорим о функции). Мы можем проверить пределы:

Левый предел: ( \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 )Правый предел: ( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 )

Поскольку пределы совпадают и конечны, но значение функции в этой точке отличается, мы имеем разрыв первого рода.

Разрыв второго рода

Разрыв второго рода (или бесконечный разрыв) возникает, когда по крайней мере один из боковых пределов не существует или равен бесконечности.

Пример:
Рассмотрим функцию:
[ f(x) = \frac{1}{x} ]

Функция не определена в точке ( x = 0 ). Проанализируем пределы:

Левый предел: ( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty )Правый предел: ( \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty )

В данном случае пределы не совпадают, и хотя один из них равен бесконечности, мы говорим о разрыве второго рода.

Как отличить разрывы

Проверка существования пределов:

Если оба боковых предела (левый и правый) существуют и конечны, и при этом значение функции в точке разрыва отличается от этих пределов — это разрыв первого рода.Если хотя бы один из боковых пределов не существует или равен бесконечности — это разрыв второго рода.

Поведение функции:

Для разрыва первого рода может быть достаточно, чтобы функция "скакнула" в точке, но конечные значения пределов по обе стороны сохраняются.Для разрыва второго рода функция может стремиться к бесконечным значениям, что указывает на сильный "скачок" функции или её уход.

Таким образом, анализ боковых пределов и значение функции в точке разрыва помогают различать разрывы первого и второго рода.