Преобразование координат, в частности, матрица поворота, широко используется в компьютерной графике, физике и геометрии для описания вращения плоских фигур.

Определение матрицы поворота

В двумерном пространстве матрица поворота, которая вращает вектор на угол θ против часовой стрелки, имеет следующий вид:

[
R(\theta) = \begin{pmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) \
\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{pmatrix}
]

Действие матрицы поворота на векторы

Рассмотрим вектор ( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} ), который мы хотим вращать на угол θ. Для этого мы умножаем матрицу поворота на вектор v:

[
\mathbf{v}' = R(\theta) \cdot \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) \
\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}
]

Умножение приводит к следующему выражению:

[
\mathbf{v}' = \begin{pmatrix}
x \cos(\theta) - y \sin(\theta) \
x \sin(\theta) + y \cos(\theta)
\end{pmatrix}
]

Таким образом, координаты нового вектора ( \mathbf{v}' ) будут ( (x', y') ), где:

[
x' = x \cos(\theta) - y \sin(\theta)
]

[
y' = x \sin(\theta) + y \cos(\theta)
]

Интуитивное понимание

Косинус и синус: Производя поворот, частью нового вектора становятся проекции старого вектора на оси (ось x соответствует косинусу угла, ось y — синусу).

Против часовой стрелки: Указанный порядок (первый координаты x, затем y) соответствует повороту против часовой стрелки. Если бы угол был отрицательным, то матрица поворота показывала бы вращение по часовой стрелке.

Сохранение длины: При повороте длина вектора (или расстояние от начала координат до точки) сохраняется, поскольку это ортогональное преобразование.

Применение

Этот подход к преобразованию координат используется в различных областях:

Компьютерная графика: Для анимации объектов и их перемещения в 2D и 3D пространствах.Динамика: Для анализа систем, где необходимы повороты и изменения ориентации объектов.Астрономия: Для вычисления положений небесных тел в определенных системах координат.

Понимание матрицы поворота и ее действия на векторы является фундаментальным для решения многих задач, связанных с преобразованием координат и анализом движений в пространстве.