Чтобы показать, что предел равномерно сходящихся непрерывных функций является непрерывной, давайте рассмотрим следующий подход:

Пусть ( (f_n) ) — последовательность функций, которая равномерно сходится к функции ( f ) на некотором множестве ( D ) (где ( D \subseteq \mathbb{R} ) или в общем случае, ( D ) — метрика). Предположим, что для всех ( n ) функции ( f_n ) непрерывны на ( D ).

По определению равномерной сходимости, для любого ( \epsilon > 0 ) существует такое ( N ), что для всех ( n \geq N ) и для всех ( x \in D ) выполняется неравенство:

[
|f_n(x) - f(x)| < \epsilon / 3.
]

Так как каждая функция ( f_n ) непрерывна в точке ( x_0 \in D ), то для достаточно большого ( n ) найдется ( \delta > 0 ), такое что при ( |x - x_0| < \delta ):

[
|f_n(x) - f_n(x_0)| < \epsilon / 3.
]

Теперь мы можем выбрать ( n ) больше ( N ). Тогда для ( x ) из ( D ), выполняющего ( |x - x_0| < \delta ), мы имеем:

[
|f(x) - f(x_0)| \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)|.
]

По равномерной сходимости для любого ( x ) и ( n ) из некоторого диапазона выполнено значение:

[
|f(x) - f_n(x)| < \epsilon / 3, \quad |f_n(x_0) - f(x_0)| < \epsilon / 3, \quad |f_n(x) - f_n(x_0)| < \epsilon / 3.
]

Таким образом, складываем все эти неравенства:

[
|f(x) - f(x_0)| < \epsilon / 3 + \epsilon / 3 + \epsilon / 3 = \epsilon
]

Это показывает, что ( f ) непрерывна в точке ( x_0 ). Поскольку это верно для любого ( x_0 \in D ), то ( f ) непрерывна на ( D ).

Теперь приведем контрпример для случая поточной (или простой) сходимости. Рассмотрим следующую последовательность функций:

[
f_n(x) = x^n \quad \text{на интервале} \; [0, 1].
]

Для ( x \in [0, 1) ), ( \lim_{n \to \infty} fn(x) = 0 ), а для ( x=1 ) ( \lim{n \to \infty} f_n(1) = 1 ). Таким образом, функция предела:

[
f(x) =
\begin{cases}
0, & x \in [0, 1) \
1, & x = 1
\end{cases}
]

является дискретной и разрывной на отрезке ( [0, 1] ). Таким образом, это показывает, что предел функций, сходящихся поточно, может быть разрывной и не непрерывной.