Для построения ортонормированного базиса в пространстве полиномов относительно скалярного произведения, заданного интегралом, можно использовать метод Грама-Шмидта. Рассмотрим, что мы хотим создать ортонормированный базис для пространства полиномов степени не выше ( n ) на некотором отрезке, например [a, b].

Скалярное произведение для функций ( f ) и ( g ) в этом случае задаётся следующим образом:

[
\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x) g(x) \, dx
]

Рассмотрим, например, пространство полиномов степени не выше ( n = 2 ) и пусть ( a = -1 ) и ( b = 1 ). Начнем с базиса, состоящего из полиномов ( 1, x, x^2 ).

Скалярные произведения:

Вычислим скалярные произведения для этих полиномов:

[
\langle 1, 1 \rangle = \int_{-1}^{1} 1 \cdot 1 \, dx = 2
]

[
\langle x, x \rangle = \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \frac{2}{3}
]

[
\langle 1, x \rangle = \int_{-1}^{1} 1 \cdot x \, dx = 0
]

[
\langle x, x^2 \rangle = \int{-1}^{1} x \cdot x^2 \, dx = \int{-1}^{1} x^3 \, dx = 0
]

Это показывает, что полиномы ( 1 ) и ( x ) уже ортогональны. Нам нужно нормализовать их.

Нормализация:

Теперь нормализуем полученные полиномы:

[
e_0(x) = \frac{1}{\sqrt{\langle 1, 1 \rangle}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
]

[
e_1(x) = \frac{x}{\sqrt{\langle x, x \rangle}} = \frac{x}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \sqrt{\frac{3}{2}} x
]

Ортогонализация для ( x^2 ):

Теперь мы найдем нормированный полином ( e_2 ), начинаем с ( x^2 ):

[
v_2 = x^2
]

Вычтем проекции на уже найденные полиномы:

[
p = v_2 - \frac{\langle v_2, e_0 \rangle}{\langle e_0, e_0 \rangle} e_0 - \frac{\langle v_2, e_1 \rangle}{\langle e_1, e_1 \rangle} e_1
]

Вычислим скалярные произведения:

[
\langle x^2, 1 \rangle = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot 1 \, dx = \frac{2}{3}
]

[
\langle x^2, x \rangle = 0
]

Теперь вычислим проекции:

[
p = x^2 - \frac{\frac{2}{3}}{2} \cdot 1 = x^2 - \frac{1}{3}
]

Нормируем ( p ):

Теперь нормируем ( p ):

[
\langle p, p \rangle = \int_{-1}^{1} \left(x^2 - \frac{1}{3}\right)^2 \, dx
]

После расширения и упрощения мы получим:

[
= \int_{-1}^{1} \left(x^4 - \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{9}\right) \, dx
]

( \int{-1}^{1} x^4 \, dx = \frac{2}{5} ) и ( \int{-1}^{1} x^2 \, dx = \frac{2}{3} ), поэтому:

[
\langle p, p \rangle = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{2}{5}
]

Теперь нормируем:

[
e_2(x) = \frac{p}{\sqrt{\langle p, p \rangle}} = \sqrt{\frac{5}{2}} \left( x^2 - \frac{1}{3} \right)
]

Таким образом, мы построили ортонормированный базис для пространства полиномов второй степени относительно заданного скалярного произведения:

[
e_0(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad e_1(x) = \sqrt{\frac{3}{2}} x, \quad e_2(x) = \sqrt{\frac{5}{2}} \left(x^2 - \frac{1}{3}\right)
]