Чтобы разобраться с системой линейных уравнений с параметром и исследовать вырожденные случаи, рассмотрим следующий пример.

Пример

Рассмотрим систему линейных уравнений с параметром ( a ):

[
\begin{cases}
x + 2y = 3 \
ax + y = 1
\end{cases}
]

Полная стратегия исследования параметра ( a )Запись в матричной форме:
Сначала запишем систему в матричном виде:
[
\begin{pmatrix}
1 & 2 \
a & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \
y
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
3 \
1
\end{pmatrix}
]

Определение вырожденных случаев:
Для того чтобы определить, когда система является вырожденной (т.е. либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений), нужно найти определитель матрицы коэффициентов:
[
D = \begin{vmatrix}
1 & 2 \
a & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot a = 1 - 2a
]

Теперь определим, при каких значениях параметра ( a ) определитель равен нулю:
[
1 - 2a = 0 \implies a = \frac{1}{2}
]

Таким образом, ( a = \frac{1}{2} ) — это возможно вырожденный случай.

Исследование случаев:
Теперь нужно рассмотреть два случая:

Случай 1: ( a \neq \frac{1}{2} )
Когда ( a \neq \frac{1}{2} ), определитель матрицы не равен нулю и система имеет единственное решение. Мы можем найти это решение с помощью метода подстановки или метода Гаусса.

Случай 2: ( a = \frac{1}{2} )
Подставляем это значение в исходную систему уравнений:
[
\begin{cases}
x + 2y = 3 \
\frac{1}{2}x + y = 1
\end{cases}
]

Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
\begin{cases}
x + 2y = 3 \
x + 2y = 2
\end{cases}
]

Теперь видно, что система не совместна (параллельные прямые), поскольку одно уравнение не может равняться 3 и 2 одновременно. Таким образом, при ( a = \frac{1}{2} ) система не имеет решений.

Вывод:

Если ( a \neq \frac{1}{2} ), система имеет единственное решение.Если ( a = \frac{1}{2} ), система не имеет решений.Заключение

При решении системы линейных уравнений с параметром важно искать ситуации, когда система может быть вырождена, так как это может кардинально изменить её свойства. Проведение полного анализа позволяет избежать ошибок при нахождении решений и улучшает понимание изучаемого материала.