Равенство множеств и эквивалентность множеств по мере — это два разных понятия в теории множеств, особенно в контексте меры и интеграции.

Равенство множеств: Два множества ( A ) и ( B ) называются равными, если они содержат одни и те же элементы, то есть ( A = B ) тогда и только тогда, когда для любого элемента ( x ): ( x \in A ) тогда и только тогда, когда ( x \in B ).

Эквивалентность по мере: Два множества ( A ) и ( B ) называются эквивалентными по мере (или равными почти всюду), если мера их симметрической разности равна нулю, то есть ( \mu(A \triangle B) = 0 ), где ( \mu ) — это мера на рассматриваемом пространстве. Это означает, что множества совпадают почти везде, но могут отличаться на множестве нулевой меры.

Пример множеств, равных почти всюду, но не равных

Рассмотрим два множества в пространстве вещественных чисел ( \mathbb{R} ):

Множество ( A = [0, 1] )Множество ( B = [0, 1] \setminus {0.5} )

Множество ( A ) включает все точки от 0 до 1, включая 0.5, тогда как множество ( B ) не включает точку 0.5. Таким образом, множества ( A ) и ( B ) не равны (т.е. ( A \neq B )).

Однако, их симметрическая разность:

[
A \triangle B = {0.5}
]

И мера этого множества ( \mu(A \triangle B) = \mu({0.5}) = 0 ). Таким образом, множества ( A ) и ( B ) эквивалентны по мере, так как их симметрическая разность имеет меру ноль:

[
\mu(A) = 1, \quad \mu(B) = 1, \quad \mu(A \triangle B) = 0.
]

В этом примере ( A ) и ( B ) эквивалентны по мере, но не равны.