Давайте обозначим длину прямоугольника как ( L ) (дм) и ширину прямоугольника как ( W ) (дм). Мы знаем следующее:

Площадь прямоугольника:
[
L \cdot W = 60 \quad (1)
]

После уменьшения длины в 2 раза и увеличения ширины на 1 дм получаем квадрат. Это можно записать следующим образом:
[
\frac{L}{2} = W + 1 \quad (2)
]

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2).

Начнём с уравнения (2) и выразим ( L ) через ( W ):
[
L = 2(W + 1) = 2W + 2
]

Теперь подставим это значение в уравнение (1):
[
(2W + 2)W = 60
]
Решим это уравнение:
[
2W^2 + 2W - 60 = 0
]
Разделим все на 2:
[
W^2 + W - 30 = 0
]

Теперь используем метод проб и ошибок, чтобы найти корни этого уравнения.

Пробуем подставить разные целые числа для ( W ):

( W = 5 ):
[
5^2 + 5 - 30 = 25 + 5 - 30 = 0 \quad \text{(корень)}
]

Таким образом, ( W = 5 ).

Теперь подставим ( W = 5 ) в выражение для ( L ):
[
L = 2W + 2 = 2(5) + 2 = 10 + 2 = 12
]

Таким образом, длина прямоугольника ( L = 12 ) дм и ширина ( W = 5 ) дм.

Теперь найдем сторону квадрата:
Уменьшение длины в 2 раза:
[
\frac{L}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ дм}
]
Увеличение ширины на 1 дм:
[
W + 1 = 5 + 1 = 6 \text{ дм}
]

Сторона квадрата равна 6 дм.

Ответ: Сторона квадрата равна 6 дм.