Теорема о среднем значении для интегралов утверждает, что если функция ( f(x) ) непрерывна на закрытом интервале ([a, b]), то существует число ( c \in [a, b] ) такое, что

[
f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx.
]

ДоказательствоНепрерывность функции. Поскольку функция ( f(x) ) непрерывна на ([a, b]), она достигает своего минимума и максимума на этом отрезке. Пусть ( m = \min{x \in [a, b]} f(x) ) и ( M = \max{x \in [a, b]} f(x) ). Таким образом, для любого ( x \in [a, b] ) выполняется неравенство:

[
m \leq f(x) \leq M.
]

Интегрирование. Теперь рассмотрим интеграл:

[
m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b-a).
]

Среднее значение. Деление всех частей неравенства на ( b-a ) (при ( b-a > 0 )) дает:

[
m \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \leq M.
]

Существование ( c ). Поскольку ( f(x) ) непрерывна на ([a, b]), по теореме о преобразовании непрерывных функций,лежавших в пределах ( [m, M] ), значение ( \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx ) должно быть между ( m ) и ( M ). Следовательно, по свойству промежуточного значения, существует ( c \in [a, b] ) такое, что

[
f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx.
]

Пример, когда утверждение не выполняется

Однако, если ( f(x) ) не является непрерывной на ([a, b]), утверждение может не выполняться. Например, рассмотрим функцию:

[
f(x) = \begin{cases}
1, & \text{если } x \neq 0, \
0, & \text{если } x = 0.
\end{cases}
]

Эта функция имеет разрыв в точке ( x = 0 ). Пусть мы рассматриваем интервал ([-1, 1]):

Вычислим интеграл:

[
\int{-1}^{1} f(x) \, dx = \int{-1}^{1} 1 \, dx = 2.
]

Находим среднее значение:

[
\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \frac{2}{2} = 1.
]

Поскольку ( f(x) = 1 ) на всем интервале, кроме одной точки, можно утверждать, что ( f(c) ) не равен ( \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 ) для всех ( c ) внутри ([-1, 1]) (в точке ( c=0) значение 0).

Таким образом, в этом случае теорема о среднем значении не выполняется.