Несобственные интегралы возникают, когда один или оба предела интегрирования — бесконечность, или когда функция, которую мы интегрируем, имеет разрывы (бесконечные значения) на промежутке интегрирования. Для вычисления несобственных интегралов с бесконечными пределами мы используем предельный переход.

Рассмотрим общий случай интеграла вида:

[
\int_{a}^{\infty} f(x) \, dx
]

Чтобы вычислить такой интеграл, мы заменяем верхний предел интегрирования на конечный ( b ) и затем берем предел при ( b \to \infty ):

[
\int{a}^{\infty} f(x) \, dx = \lim{b \to \infty} \int_{a}^{b} f(x) \, dx
]

Если этот предел существует и конечен, то мы скажем, что интеграл сходится. Если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл расходится.

Пример: условная сходимость

Рассмотрим интеграл:

[
\int_{1}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, dx
]

Этот интеграл является несобственным, так как верхний предел интегрирования стремится к бесконечности. Для его вычисления:

Заменим верхний предел на ( b ):

[
I(b) = \int_{1}^{b} \frac{\sin(x)}{x} \, dx
]

Затем возьмем предел при ( b \to \infty ):

[
I = \lim_{b \to \infty} I(b)
]

С помощью теоремы о сходимости и признаков сходимости (например, интегралы сравнения) можно показать, что этот интеграл сходится, хотя его значение не может быть выражено через элементарные функции.

Важно отметить, что интеграл (\int_{1}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, dx) является условно сходящимся, что означает, что его значение остается конечным при условии, что мы не меняем порядок интегрирования или условиях (например, переопределение функции).

Итак, интеграл (\int{1}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, dx) существует, но его абсолютный интеграл (\int{1}^{\infty} \left| \frac{\sin(x)}{x} \right| \, dx) расходится. Таким образом, мы имеем пример условно сходящегося несобственного интеграла.