Уравнение второго порядка ( y'' + y = 0 ) является линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Чтобы найти его общее решение, можно воспользоваться методом характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение:
Запишем характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения:
[
r^2 + 1 = 0
]
Решая это уравнение, получаем комплексные корни:
[
r = i \quad \text{и} \quad r = -i
]

Общее решение:
Общее решение уравнения с комплексными корнями имеет вид:
[
y(t) = C_1 \cos(t) + C_2 \sin(t)
]
где ( C_1 ) и ( C_2 ) — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями.

Интерпретация в механике:
Уравнение ( y'' + y = 0 ) описывает гармоническое движение, которое можно интерпретировать как движение идеального маятника или пружины без трения.

Механическая система: Если рассмотреть, например, маятник, то его угол отклонения от вертикали ( y(t) ) будет подчиняться такому уравнению при малых углах отклонения (где ( y ) пропорционален углу). Переменные ( \cos(t) ) и ( \sin(t) ) в решении представляют собой гармонические колебания.

Силы: В механике это означает, что на систему действуют силы, которые возвращают её в равновесное положение, что приводит к колебательному движению. Таким образом, ( C_1 ) и ( C_2 ) будут определять амплитуду и начальные условия колебаний.

Период: Период колебаний данной системы можно определить как ( T = 2\pi ). Это говорит о том, что система будет совершать регулярные колебания с фиксированным периодом.

Таким образом, общее решение уравнения ( y'' + y = 0 ) описывает гармонические колебания в механической системе, что имеет широкое применение в физике, инженерии и других областях.