Интегрирование по частям — это один из методов вычисления интегралов, основанный на формуле:

[
\int u \, dv = uv - \int v \, du,
]

где ( u ) и ( dv ) — функциональные части, которые выбираются в зависимости от интеграла.

При использовании интегрирования по частям для несобственных интегралов важно учитывать некоторые условия:

Определение несобственного интеграла: Несобственный интеграл — это интеграл, который может быть определён на бесконечном промежутке (например, от ( a ) до ( +\infty ) или от ( -\infty ) до ( b )), или где подынтегральная функция имеет разрывы на конечном промежутке.

Существование предела: При вычислении несобственного интеграла необходимо устанавливать предел при стремлении одного из пределов интегрирования к бесконечности или при подходе к точке разрыва. Например, если мы рассматриваем интеграл вида

[
\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx,
]

то его нужно представить как

[
\lim{b \to +\infty} \int{a}^{b} f(x) \, dx.
]

Правильный выбор ( u ) и ( dv ): При выборе частей для интегрирования по частям необходимо учитывать поведение функций на бесконечности или около разрыва. Если ( u ) медленно возрастающая и ( dv ) стремится к нулю (или наоборот) на краях интегрирования, это может привести к правильному вычислению интеграла.

Обработка границ: При использовании интегрирования по частям в пределах несобственного интеграла важно не забыть, что после применения формулы потребуется заново оценить границы интеграла, особенно если ( uv ) имеет неопределённости на этих границах.

Ошибка, связанная с использованием интегрирования по частям при несобственном интеграле, часто связана с игнорированием какого-либо из этих условий, что может привести к некорректным значениям интеграла или его несоществованию. Убедитесь всегда, что границы интегрирования и поведение функций соответствуют требованиям для применения данного метода.

Рассмотрим интеграл

[
I = \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} \, dx.
]

Применяя интегрирование по частям, можно выбрать ( u = \ln x ) и ( dv = \frac{1}{x^2} dx ), и после подстановки, вычисления границ и пределов, мы должны понимать поведение ( uv ) и второго интеграла на границах, чтобы корректно оценить результат. Если не учесть эти детали, решение может оказаться неверным.