Пусть ( a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n ). Мы хотим показать, что ( a_n ) стремится к числу ( e ) при ( n \to \infty ).

Для этого рассмотрим натуральное число ( n ) и воспользуемся формулой для биномиального разложения:

[
\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \sum{k=0}^{n} \binom{n}{k} \left( \frac{1}{n} \right)^k = \sum{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^k}.
]

Теперь ограничим сумму только первыми несколькими терминами и оценим остальную часть:

[
\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = 1 + 1 + \frac{1}{2! n} + \frac{1}{3! n^2} + \ldots + \frac{1}{k! n^{k-1}} + \ldots + \frac{1}{n! n^n}.
]

Итак, в предельном переходе, когда ( n \to \infty ), слагаемое ( \frac{1}{k! n^{k-1}} ) будет стремиться к нулю для всех ( k \geq 2 ). И, более того, можно показать, что сумма стремится к экспоненциальной функции ( e ).

Используем другое подход: применим логарифм и предел.

Рассмотрим натуральный логарифм последовательности:

[
\ln a_n = n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right).
]

По справедливости предела, используя разложение Тейлора ( \ln(1+x) ) вблизи 0:

[
\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right).
]

Подставим это обратно:

[
\ln a_n = n \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right) = 1 - \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right).
]

Теперь, если мы возьмем предел при ( n \to \infty ):

[
\lim_{n \to \infty} \ln an = \lim{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) = 1.
]

Таким образом, это значит, что

[
\lim_{n \to \infty} a_n = e^1 = e.
]

Таким образом, последовательность ( a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n ) действительно стремится к числу ( e ) при ( n \to \infty ).