Данное функциональное уравнение имеет вид ( f(x+y) = f(x) f(y) ). Это уравнение характерно для функций, которые представляют собой экспоненты.

Чтобы найти решения, рассмотрим несколько шагов:

Найдём значение функции в 0.

Подставим ( y = 0 ):
[
f(x + 0) = f(x) f(0)
]
Получаем:
[
f(x) = f(x) f(0)
]
Если ( f(x) \neq 0 ) для некоторого ( x ), то можем разделить обе части на ( f(x) ):
[
1 = f(0)
]
Таким образом, если ( f(x) ) не идентично нулю, то ( f(0) = 1 ).

Рассмотрим случай, когда ( f ) является постоянной функцией.

Если ( f(x) = c ) для некоторого постоянного ( c ), подставив в уравнение, получаем:
[
c = c \cdot c \Rightarrow c^2 = c
]
Так что ( c = 0 ) или ( c = 1 ). Таким образом, ( f(x) = 0 ) или ( f(x) = 1 ) — две возможные постоянные решения.

Рассмотрим непрерывные решения.

Предположим, что ( f ) непрерывна и не идентично нулю. Так как ( f(0) = 1 ) и ( f(x+y) = f(x) f(y) ), мы можем рассмотреть производную функции ( g(x) = \ln(f(x)) ). Тогда уравнение преобразуется следующим образом:
[
g(x+y) = g(x) + g(y)
]
Это краткое уравнение Коши. При условии непрерывности решение имеет вид:
[
g(x) = kx \quad (k \in \mathbb{R})
]
То есть:
[
f(x) = e^{g(x)} = e^{kx}
]
где ( k ) — некоторый постоянный параметр.

Таким образом, если ( f ) непрерывна, решения функционального уравнения имеют вид:
[
f(x) = e^{kx} \quad (k \in \mathbb{R}) \quad \text{или} \quad f(x) = 0 \text{ (для всех } x\text{)} \quad \text{или } f(x) = 1 \text{ (для всех } x\text{)}.
]

Непрерывность функции играет ключевую роль здесь, так как без неё могут существовать более сложные и экзотические решения, которые не будут принимать стандартный вид экспоненты, но являются согласованными с уравнением. Непрерывность гарантирует, что решения будут гладкими и "хорошо себя вести", что и приводит нас к ( f(x) = e^{kx} ).