Доказательство непрерывности суммы ряда функций, представленного в виде

[
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x),
]

обычно основывается на использовании теоремы о сходимости ряда непрерывных функций. Для этого необходимо, чтобы каждая функция ( fn(x) ) была непрерывной на некотором интервале и чтобы ряд ( \sum{n=1}^{\infty} f_n(x) ) сходился для каждого ( x ) в этом интервале.

Доказательство непрерывности суммы ряда функций:

Непрерывность каждой функции: Предполагаем, что каждая функция ( f_n(x) ) является непрерывной на некотором интервале ( I ).

Показываем сходимость ряда: Предполагаем, что ряд ( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) ) сходится для каждого ( x \in I ).

Обозначим частичную сумму: Обозначим ( Sm(x) = \sum{n=1}^{m} f_n(x) ). Поскольку каждая ( f_n(x) ) непрерывна, и сумма конечного числа непрерывных функций непрерывна, функция ( S_m(x) ) будет непрерывной на интервале ( I ).

Точка предела: Если ряд ( \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) ) сходится для каждого ( x \in I ), то по определению сходимости рядов имеем, что ( S_m(x) ) стремится к ( f(x) ) при ( m \to \infty ).

Непрерывность предела: Теперь, для доказательства непрерывности функции ( f(x) = \lim_{m \to \infty} S_m(x) ), нам нужно показать, что если ( x_k \to x_0 \in I ), то ( f(x_k) \to f(x_0) ).

Для каждого ( \epsilon > 0 ) найдется такое ( N ), что для всех ( m > N ) и для всех ( x \in I ):

[
|S_m(x_k) - f(x_k)| < \epsilon/2 \quad \text{и} \quad |S_m(x_0) - f(x_0)| < \epsilon/2.
]

Таким образом, для ( k ) достаточно большим, имеем:

[
|f(x_k) - f(x_0)| \leq |f(x_k) - S_m(x_k)| + |S_m(x_k) - S_m(x_0)| + |S_m(x_0) - f(x_0)| < \epsilon.
]

Это доказывает, что функция ( f(x) ) непрерывна.

Условия для равномерной сходимости:

Однако, для того чтобы гарантировать равномерную сходимость ряда функций и его непрерывность, могут отсутствовать следующие условия:

Равномерная сходимость: Ряд может не сходиться равномерно. Если ряд не является равномерно сходящимся на ( I ), то непрерывность суммы не гарантирована. Для равномерной сходимости можно использовать критерий Вейерштрасса или критерий Дюбо.

Коэффициенты ограниченности: Существует ряд, который может не иметь ограниченных функций ( f_n(x) ) на интервале.

Условия на членах ряда: Например, если ( f_n(x) ) не равномерно контролируется (например, не существует ( M_n ), зависимого только от ( n ), такое что ( |f_n(x)| \leq M_n ) для всех ( x )), это также может привести к нестабильной сходимости.

Таким образом, величайшую роль в вопросе непрерывности суммы ряда играет равномерная сходимость.