Для анализа сходимости последовательности функций ( f_n(x) = x^n ) на отрезке ([0, 1]) начнем с изучения точечной сходимости.

Точечная сходимость

Рассмотрим предел последовательности ( f_n(x) ) для каждого фиксированного ( x ) из ([0, 1]):

Если ( x = 0 ):
[
fn(0) = 0^n = 0 \quad \text{для всех } n.
]
Таким образом, (\lim{n \to \infty} f_n(0) = 0).

Если ( 0 < x < 1 ):
[
f_n(x) = x^n \to 0 \quad \text{при } n \to \infty,
]
так как ( x < 1 ) и степень ( n ) убывает к нулю.

Если ( x = 1 ):
[
fn(1) = 1^n = 1 \quad \text{для всех } n,
]
и, следовательно, (\lim{n \to \infty} f_n(1) = 1).

Таким образом, точечный предел функции ( f_n(x) ) определен следующим образом:
[
f(x) =
\begin{cases}
0, & \text{если } 0 \leq x < 1, \
1, & \text{если } x = 1.
\end{cases}
]

Равномерная сходимость

Теперь проверим, сходится ли последовательность ( f_n(x) ) к ( f(x) ) равномерно на отрезке ([0, 1]). Для этого вычислим:

[
\sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - f(x)|.
]

В данном случае:

Для ( 0 \leq x < 1 ), ( |f_n(x) - f(x)| = |x^n - 0| = x^n ).Для ( x = 1 ), ( |f_n(1) - f(1)| = |1 - 1| = 0 ).

Таким образом,
[
\sup_{x \in [0, 1]} |fn(x) - f(x)| = \sup{0 \leq x < 1} x^n.
]

Поскольку максимальное значение функции ( x^n ) на отрезке ([0, 1]) достигается при ( x = 1 ), и мы видим, что:
[
\sup_{0 \leq x < 1} x^n = 1^n = 1.
]

Однако, при любом ( \epsilon > 0 ), существует ( n ) такое, что для ( x ) достаточно близкого к 1, ( x^n ) будет все ещё близким к 1. Следовательно:

[
\limsup{n \to \infty} \sup{x \in [0, 1]} |f_n(x) - f(x)| = 1 \not\to 0.
]

Таким образом, последовательность функций ( f_n(x) = x^n ) не сходится равномерно к функции ( f(x) ) на отрезке ([0, 1]).

ВыводТочечная сходимость: ( f_n(x) ) сходится по точкам к функции ( f(x) ), где ( f(x) = 0 ) для ( 0 \leq x < 1 ) и ( f(1) = 1 ).Равномерная сходимость: Последовательность ( f_n(x) ) не сходится равномерно на отрезке ([0, 1]).