Оператор дифференцирования (D) в пространстве многочленов, определяемый как (D(f(x)) = f'(x)), является линейным оператором. Это можно показать, используя свойства линейности:

Аддитивность: Для любых двух многочленов (f(x)) и (g(x)):
[
D(f(x) + g(x)) = (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) = D(f(x)) + D(g(x)).
]

Однородность: Для любого многочлена (f(x)) и любого скаляра (\alpha):
[
D(\alpha f(x)) = (\alpha f(x))' = \alpha f'(x) = \alpha D(f(x)).
]

Таким образом, оператор (D) является линейным.

Теперь найдем собственные значения и собственные векторы этого оператора. Собственное значение (\lambda) и собственный вектор (f(x)) связаны уравнением:
[
Df(x) = \lambda f(x).
]
Это уравнение можно переписать как:
[
f'(x) = \lambda f(x).
]
Решением этого дифференциального уравнения будет функция вида:
[
f(x) = Ce^{\lambda x},
]
где (C) — константа.

Однако в контексте многочленов ((f(x)) должен быть многочленом) мы должны ограничить (\lambda). Заметим, что экспоненциальная функция (e^{\lambda x}) не является многочленом, если (\lambda \neq 0).

Таким образом, единственным собственным значением, при котором (f(x)) остается многочленом, является (\lambda = 0). При этом собственный вектор будет равен любому постоянному многочлену, то есть, (f(x) = C), где (C) — константа.

В общем итоге:

Собственное значение: (\lambda = 0).Собственные векторы: все ненулевые константные многочлены (f(x) = C).