Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой ( y = x^2 ) и прямой ( y = x ), можно использовать метод интегрирования по разности. Сначала определим точки пересечения двух кривых и затем вычтем площадь под одной кривой из площади под другой.

Нахождение точек пересечения:
Нам нужно решить уравнение:
[
x^2 = x
]
Это уравнение можно привести к стандартному виду:
[
x^2 - x = 0
]
Далее, мы можем вынести общий множитель:
[
x(x - 1) = 0
]
Отсюда мы получаем два решения:
[
x = 0 \quad \text{и} \quad x = 1
]

Определение пределов интегрирования:
Поскольку мы нашли точки пересечения ((0, 0)) и ((1, 1)), мы зададим пределы интегрирования от (0) до (1).

Вычисление площади:
Для нахождения площади (A) между кривыми (y = x) (верхняя кривая) и (y = x^2) (нижняя кривая) используем формулу площади между двумя кривыми:
[
A = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx
]
где (f(x) = x) и (g(x) = x^2), а (a = 0) и (b = 1).

Таким образом, площадь будет равна:
[
A = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx
]

Выражение интеграла:
Рассчитаем интеграл:
[
A = \int{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \int{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} x^2 \, dx
]

Вычислим каждый из интегралов:

(\int{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2})(\int{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - 0 = \frac{1}{3})

Вычисление площади:
Подставим значения обратно в формулу для площади:
[
A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}
]

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой (y = x^2) и прямой (y = x), равна (\frac{1}{6}).