Обмен предела и суммы — это операция, в которой мы можем поменять местами предел последовательности и сумму чисел (или интеграл в случае непрерывных функций). Однако эта операция не всегда оправдана, и существуют определённые критерии, при которых такой обмен возможен.

Одним из основных критериев является теорема о сходимости Мона (или теорема о доминирующей конвергенции) для последовательностей и интегралов. Эта теорема утверждает, что если у вас есть последовательность ( f_n(x) ), которая сходится к функции ( f(x) ) для всех ( x ), и если существует интегрируемая (или сумма ограниченная) функция ( g(x) ), такая что ( |f_n(x)| \leq g(x) ) для всех ( n ) и всех ( x ), то можно обменять предел и интеграл/сумму:

[
\lim_{n \to \infty} \int fn(x) \, dx = \int \lim{n \to \infty} f_n(x) \, dx
]

или

[
\lim_{n \to \infty} \sum fn = \sum \lim{n \to \infty} f_n.
]

Однако, если данные условия не выполняются, то обмен может привести к неверному результату.

Рассмотрим следующую последовательность:

[
f_n(x) = \frac{x}{n}
]

Рассмотрим сумму:

[
Sn = \sum{x=1}^m fn(x) = \sum{x=1}^m \frac{x}{n} = \frac{1}{n} \sum_{x=1}^m x = \frac{m(m+1)}{2n}.
]

Теперь рассмотрим предел ( n \to \infty ):

[
\lim_{n \to \infty} Sn = \lim{n \to \infty} \frac{m(m+1)}{2n} = 0.
]

Теперь поменяем местами сумму и предел:

[
\sum{x=1}^m \lim{n \to \infty} fn(x) = \sum{x=1}^m \lim{n \to \infty} \frac{x}{n} = \sum{x=1}^m 0 = 0.
]

В данном случае оба результата совпадают, но теперь рассмотрим случай, когда ( f_n(x) = x^n ).

Тогда:

[
Sn = \sum{x=1}^m x^n
]

При ( n \to \infty ) первая слагаемая становится доминирующей, и мы получаем, что

[
\lim_{n \to \infty} S_n \to m^n,
]

что идет к бесконечности, но

[
\sum{x=1}^m \lim{n \to \infty} x^n = \sum{x=1}^{m-1} 0 + \lim{n \to \infty} m^n \to \infty.
]

Таким образом, здесь мы получили различные результаты в зависимости от порядка операции. Важно помнить, что для использования обмена предела и суммы необходимо убедиться, что условия теоремы о доминирующей сходимости выполнены.