Уравнение Пуассона в одномерном случае имеет вид:

[
\frac{d^2 u}{dx^2} = f(x),
]

где ( u(x) ) — искомая функция, а ( f(x) ) — заданная функция (источник).

Шаги решения краевой задачи

Определение краевых условий:
Краевые условия могут быть разными (Дирихлева, Неймана или смешанные). Например:

Дирихлева: ( u(0) = u_0 ) и ( u(L) = u_L ).Неймана: ( u'(0) = u'_0 ) и ( u'(L) = u'_L ).

Общая форма решения:
Решение можно представить как сумму частного решения и общего решения однородного уравнения. Сначала решим однородное уравнение:

[
\frac{d^2 u_h}{dx^2} = 0.
]

Его общее решение имеет вид:

[
u_h(x) = A + Bx,
]

где ( A ) и ( B ) — постоянные, определяемые краевыми условиями.

Поиск частного решения:
Теперь найдем частное решение уравнения Пуассона. Частное решение можно найти с помощью различных методов, включая метод подбора или метод вариации произвольных постоянных. Для простоты, если ( f(x) ) — константа, например ( f(x) = c ), то частное решение будет:

[
u_p(x) = -\frac{c}{2} x^2 + Dx + E,
]

где ( D ) и ( E ) — константы, которые могут быть определены на этом этапе или позже.

Суммирование решений:
Общее решение уравнения будет иметь вид:

[
u(x) = u_h(x) + u_p(x) = A + Bx - \frac{c}{2} x^2 + Dx + E.
]

Применение краевых условий:
Подставляем условия в общее решение и находим значения констант ( A, B, D, E ).

Пример

Рассмотрим задачу: найдите решение уравнения Пуассона с условиями Дирихле на отрезке ( [0, 1] ):

[
\frac{d^2 u}{dx^2} = 1, \quad u(0) = 0, \quad u(1) = 1.
]

Решение однородного уравнения:

Решение однородного уравнения ( \frac{d^2 u}{dx^2} = 0 ) будет:

[
u_h(x) = A + Bx.
]

Поиск частного решения:

Найдем частное решение для ( f(x) = 1 ):

[
u_p(x) = -\frac{1}{2} x^2 + Cx + D.
]

Общее решение:

Объединив решения, получим:

[
u(x) = A + Bx - \frac{1}{2}x^2 + Cx + D = A + (B + C)x - \frac{1}{2}x^2 + D.
]

Применение краевых условий:

Подставим краевые условия:

( u(0) = 0 ) дает ( A + D = 0 ).( u(1) = 1 ) дает ( A + (B + C) - \frac{1}{2} + D = 1 ).

Подставив ( D = -A ) в оба уравнения, получим систему уравнений на ( A, B, C ).

Вычисления:

Решая систему, мы можем найти значение каждой константы и, таким образом, получить полное решение.

Таким образом, мы получаем решение краевой задачи для простейшего уравнения Пуассона в одномерном случае.