Чтобы доказать, что пространство ( \mathbb{R}^n ) с обычным скалярным произведением является евклидовым пространством, необходимо показать, что это пространство является векторным пространством и удовлетворяет определению евклидова пространства.

Векторное пространство

Пространство ( \mathbb{R}^n ) — это векторное пространство над полем действительных чисел ( \mathbb{R} ). Оно содержит векторы, которые могут быть представлены в виде ( \mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n) ), где ( v_i \in \mathbb{R} ). Определены операции сложения векторов и умножения векторов на скаляры:

Сложение: Для любых ( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n ) их сумма ( \mathbf{u} + \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n )Умножение на скаляр: Для любого ( \alpha \in \mathbb{R} ) и ( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n ) вектор ( \alpha \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n )

Упомянутые операции удовлетворяют всем аксиомам векторного пространства (коммутативность и ассоциативность сложения, наличие нулевого вектора, существование обратных векторов, дистрибутивность умножения и т.д.).

Скалярное произведение

Обычное скалярное произведение векторов ( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n ) определяется как:
[
\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \ldots + u_n v_n,
]
где ( \mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n) ) и ( \mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n) ).

Это скалярное произведение удовлетворяет следующим свойствам:

Коммутативность: ( \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle )Линейность по первому аргументу: ( \langle \alpha \mathbf{u} + \mathbf{w}, \mathbf{v} \rangle = \alpha \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{w}, \mathbf{v} \rangle )Положительная определенность: ( \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \geq 0 ) и ( \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle = 0 ) только если ( \mathbf{u} = \mathbf{0} )Норма

Норма вектора ( \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n ) определяется через скалярное произведение следующим образом:
[
|\mathbf{u}| = \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle} = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \ldots + u_n^2}.
]
Эта норма удовлетворяет следующим свойствам:

Положительная определенность: ( |\mathbf{u}| \geq 0 ) и ( |\mathbf{u}| = 0 ) только если ( \mathbf{u} = \mathbf{0} )Скалярная однородность: ( | \alpha \mathbf{u} | = |\alpha| |\mathbf{u}| ) для любого ( \alpha \in \mathbb{R} )Неравенство треугольника: ( |\mathbf{u} + \mathbf{v}| \leq |\mathbf{u}| + |\mathbf{v}| )Заключение

Таким образом, пространство ( \mathbb{R}^n ) с обычным скалярным произведением является евклидовым пространством. Понятие нормы, определенное через скалярное произведение, позволяет измерять длины векторов и является важным для анализа геометрических свойств этого пространства.