Симметрическое положительно определенное матричное уравнение может быть записано в виде:

[ A\mathbf{x} = \mathbf{b}, ]

где ( A ) — симметрическая положительно определенная матрица, ( \mathbf{x} ) — вектор переменных, а ( \mathbf{b} ) — вектор, задающий правую часть уравнения.

Шаги для решения через разложение Холецкого:

Разложение Холецкого:
Поскольку матрица ( A ) симметрична и положительно определена, мы можем разложить её в виде:

[ A = LL^T, ]

где ( L ) — нижняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами.

Подстановка в уравнение:
Подставим разложение Холецкого в исходное уравнение:

[ LL^T \mathbf{x} = \mathbf{b}. ]

Обозначим ( \mathbf{y} = L^T \mathbf{x} ). Тогда у нас получается система:

[ L\mathbf{y} = \mathbf{b}. ]

Решение системы:
Теперь решим два уравнения:

Сначала найдем вектор ( \mathbf{y} ) с использованием прямого хода:

[ L\mathbf{y} = \mathbf{b}, ]

решая это уравнение методом переноса (forward substitution).

Затем найдем вектор ( \mathbf{x} ) с помощью обратной подстановки:

[ L^T \mathbf{x} = \mathbf{y}. ]

Финальное решение:
Таким образом, мы можем получить вектор ( \mathbf{x} ) после нахождения ( \mathbf{y} ).

Почему метод устойчив:

Положительная определенность: Положительная определенность матрицы ( A ) гарантирует, что разложение Холецкого всегда существует и матрица ( L ) будет иметь положительные диагональные элементы. Это обеспечивает стабильность расчетов.

Свойства нижней треугольной матрицы: Операции с нижней треугольной матрицей (такие как решение систем уравнений) обеспечивают хорошую численную устойчивость. Прямое и обратное ходы не приводят к значительным ошибкам округления.

Отсутствие деления на ноль: В процессе разложения и решения уравнений мы избегаем деления на ноль, так как матрица ( A ) положительно определена, и следовательно все ведущие главные миноры положительны.

Таким образом, разложение Холецкого является эффективным и устойчивым методом для решения систем линейных уравнений с симметричными положительно определенными матрицами.