Матрица поворота в ( \mathbb{R}^2 ) на угол ( \theta ) имеет вид:

[
R(\theta) = \begin{pmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) \
\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{pmatrix}
]

Свойства матрицы поворота

Определение: Матрица поворота ( R(\theta) ) преобразует вектор в ( \mathbb{R}^2 ) путем поворота его на угол ( \theta ) вокруг начала координат.

Детерминант: Детерминант матрицы ( R(\theta) ) равен:
[
\text{det}(R(\theta)) = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1,
]
что указывает на то, что поворот сохраняет площадь (и, следовательно, не меняет длину векторов).

Сохранение длины: Поворот сохраняет длины векторов, т.е. если ( \mathbf{v} ) — это вектор в ( \mathbb{R}^2 ), то длина ( R(\theta) \mathbf{v} ) равна длине ( \mathbf{v} ).

Композиция поворотов: Композиция двух поворотов ( R(\theta_1)R(\theta_2) ) равна матрице поворота на угол ( \theta_1 + \theta_2 ).

Ортогональность матрицы

Чтобы показать, что матрица ( R(\theta) ) ортогональна, необходимо доказать, что её столбцы (или строки) являются ортонормированным набором векторов. Это можно сделать, проверив, что:

Столбцы матрицы ( R(\theta) ) являются ортогональными:
[
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \
\sin(\theta)
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-\sin(\theta) \
\cos(\theta)
\end{pmatrix}

\cos(\theta)(-\sin(\theta)) + \sin(\theta)\cos(\theta) = 0.
]
Это говорит о том, что столбцы перпендикулярны.

Длины столбцов равны единице:
[
\sqrt{\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)} = 1.
]
Оба столбца имеют длину 1, что делает их ортонормированными.

Заключение

Так как ( R(\theta) ) сохраняет длины векторов и их взаимную перпендикулярность, её можно считать ортогональной. Формально, матрица ( R(\theta) ) является ортогональной, если выполняется:
[
R(\theta)^T R(\theta) = I,
]
где ( I ) — единичная матрица. Проверим:

[
R(\theta)^T = \begin{pmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) \
-\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{pmatrix}
]

Теперь перемножим ( R(\theta)^T ) и ( R(\theta) ):

[
R(\theta)^T R(\theta) = \begin{pmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) \
-\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) \
\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) & 0 \
0 & \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)
\end{pmatrix} = I.
]

Таким образом, ( R(\theta) ) действительно ортогональна.