Чтобы проверить линейную независимость набора векторов в (\mathbb{R}^4), можно использовать несколько методов. Один из наиболее распространенных способов — это размещение векторов в матрицу и вычисление ее ранга.

Проверка линейной независимости

Запишите векторы в матрице: Постройте матрицу, где каждый из векторов будет строкой или столбцом, в зависимости от того, как вы хотите представлять векторы.

Нахождение ранга матрицы: Используйте метод Гаусса или другие алгоритмы для нахождения ранга матрицы. Ранг матрицы — это максимальное количество линейно независимых строк или столбцов.

Сравнение ранга и количества векторов: Если число векторов (с) больше ранга матрицы (r), то векторы линейно зависимы. Если (\text{rank} = s), то они линейно независимы.

Пример с хитрым частным случаем

Рассмотрим три вектора в (\mathbb{R}^4):

[
\mathbf{v_1} = (1, 2, 3, 4)
]
[
\mathbf{v_2} = (2, 4, 6, 8)
]
[
\mathbf{v_3} = (3, 6, 9, 12)
]

Шаги проверкиСоставим матрицу:

[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
2 & 4 & 6 \
3 & 6 & 9 \
4 & 8 & 12
\end{pmatrix}
]

Упростим матрицу (например, методом Гаусса):

[
A \rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
]

Найдите ранг матрицы: Мы видим, что в матрице есть только одна ненулевая строка, следовательно, ранг равен 1.

Сравнение ранга и количества векторов: У нас было 3 вектора, а ранг равен 1. Это значит, что векторы линейно зависимы.

Хитрый частный случай

В приведенном примере векторы (\mathbf{v_2}) и (\mathbf{v_3}) являются линейными комбинациями (\mathbf{v_1}):

(\mathbf{v_2} = 2 \cdot \mathbf{v_1})(\mathbf{v_3} = 3 \cdot \mathbf{v_1})

Таким образом, все три вектора лежат на одной прямой в (\mathbb{R}^4) и линейно зависимы, хотя пространство (\mathbb{R}^4) позволяет создавать много векторов.