Оператор проекции — это линейный оператор, который отображает вектор из некоторого векторного пространства на заданное подпространство. Геометрически это можно представить как "прямое" или "ортогональное" опускание вектора на плоскость, линию или более общее подпространство.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим вектор ( \mathbf{v} ) в пространстве ( \mathbb{R}^n ) и подпространство ( W ) той же размерности. Оператор проекции служит для нахождения "наилучшего приближения" вектора ( \mathbf{v} ) к подпространству ( W ).

Ортогональная проекция: Если мы хотим проецировать вектор ( \mathbf{v} ) на подпространство ( W ), то наилучшей (ортогональной) проекцией будет точка ( \mathbf{p} \in W ), такая что ( \mathbf{v} - \mathbf{p} ) перпендикулярна (ортогональна) подпространству ( W ).

Параллельная проекция: Иногда, если нам нужно проецировать вектор на подпространство параллельно какой-то другой линии или направлению, применяется другая форма проекции.

Реализация через матрицу

Проекция вектора на подпространство может быть реализована с помощью матрицы. Рассмотрим использование ортогональной проекции на подпространство, заданное базисом.

Шаги для вычисления матрицы проекций

Задание базиса подпространства: Пусть у нас есть подпространство ( W ), заданное базисом векторов ( \mathbf{u_1}, \mathbf{u_2}, \ldots, \mathbf{u_k} ), где ( k ) — размерность подпространства.

Формирование матрицы: Соберем векторы базиса в матрицу ( U = [\mathbf{u_1}, \mathbf{u_2}, \ldots, \mathbf{u_k}] ), где каждый столбец соответствует одному вектору базиса.

Вычисление матрицы проекции: Используя матрицу ( U ), матрица проекции ( P ) на подпространство ( W ) может быть вычислена по формуле:

[
P = U (U^T U)^{-1} U^T
]

Здесь ( U^T ) — транспонированная матрица ( U ), а ( (U^T U)^{-1} ) — обратная матрица к ( U^T U ) (эта матрица существует, если векторы базиса линейно независимы).

Проекция вектора: Чтобы получить проекцию вектора ( \mathbf{v} ) на подпространство ( W ), нужно умножить матрицу проекции ( P ) на вектор ( \mathbf{v} ):

[
\mathbf{p} = P \mathbf{v}
]

где ( \mathbf{p} ) — проекция вектора ( \mathbf{v} ) на подпространство ( W ).

Пример

Пусть подпространство ( W ) в ( \mathbb{R}^2 ) задано вектором ( \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} ).

Сформируем матрицу ( U = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} ).Считаем ( U^T U = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} = 5 ) и его обратную матрицу ( \frac{1}{5} ).

Теперь подставим в формулу:

[
P = U \left( \frac{1}{5} \right) U^T = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \ \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 \end{pmatrix}
]

Теперь умножая ( P ) на любой вектор в ( \mathbb{R}^2 ), мы получим его проекцию на подпространство, заданное вектором ( \mathbf{u} ).

Таким образом, оператор проекции позволяет нам эффективно находить проекции векторов на заданные подпространства, что имеет большое значение в таких областях, как компьютерная графика, обработка данных, статистика и многие другие.