Утверждение «если ( AB = BA ), то ( A ) и ( B ) диагонализуемы одновременно» является ошибочным, поскольку не все пары коммутирующих матриц являются одновременно диагонализуемыми.

Контрпример

Рассмотрим матрицы:

[
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}
]

Эти матрицы коммутируют:

[
AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}
]

[
BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}
]

Как видно, ( AB = BA ), то есть матрицы коммутируют.

Теперь рассмотрим диагонализуемость каждой из матриц.

Матрица ( A ):

Найдём её собственные значения, решив характеристическое уравнение:
[
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 1 \ 0 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda)^2
]Собственное значение ( \lambda = 1 ) имеет алгебраическую кратность 2. Найдём собственные векторы:
[
(A - I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = 0 \implies y = 0, \text{ где } x \text{ произвольный.}
]Таким образом, собственный вектор соответствует собственному значению ( 1 ) только вектору вида ( \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} ), что говорит о том, что ( A ) не имеет полного набора линейно независимых собственных векторов (размер жордановой клетки равен 2).

Матрица ( B ):

Очевидно, ( B ) является диагональной и, следовательно, диагонализуема.

Таким образом, хотя матрицы ( A ) и ( B ) и коммутируют, матрица ( A ) не является диагонализуемой. Это иллюстрирует, что коммутирование не гарантирует одновременной диагонализуемости.

Вывод

Ошибка утверждения заключается в том, что наличие общего собственного значения или коммутативной природы не является достаточным условием для одновременной диагонализуемости, если хотя бы одна из матриц не обладает свойством быть диагонализуемой.