Чтобы представить число 2025 в виде суммы двух квадратов целых чисел, мы можем использовать несколько теорем и методов из теории чисел, в частности, теорему Ферма о sums of two squares.

Согласно этой теореме, целое число ( n ) может быть представлено в виде суммы двух квадратов, если в его разложении на простые множители все простые числа вида ( 4k+3 ), которые входят с нечетным экспонентом.

Разложение на простые множители:
Начнем с разложения числа 2025 на простые множители:
[
2025 = 45 \times 45 = 9 \times 5 \times 9 \times 5 = (3^2) \times (5^2) = 3^4 \times 5^2.
]

Проверка условий теоремы Ферма:
В разложении присутствуют:

( 3^4 ), где 3 — это простой множитель вида ( 4k+3 ).( 5^2 ), где 5 — это простой множитель вида ( 4k+1 ).

Число 3 входит в разложение с четным экспонентом (4), а число 5 - с четным экспонентом (2). Поскольку для простых чисел вида ( 4k + 3 ) присутствуют лишь четные экспоненты, мы можем использовать теорему Ферма для заключения, что 2025 может быть выражено как сумма двух квадратов.

Нахождение произведения:
Теперь нужно найти такие целые ( x ) и ( y ), что ( x^2 + y^2 = 2025 ). Мы можем использовать метод перебора или закон чисел.

Попробуем несколько значений ( x ):

Если ( x = 0 ), то ( y^2 = 2025 ) (но это не дает целого числа).Если ( x = 5 ), то ( y^2 = 2025 - 25 = 2000 ) (не дает корень).Если ( x = 10 ), то ( y^2 = 2025 - 100 = 1925 ) и так далее.

Пробуя различные значения ( x ) (например, до ( x = 45 )), мы находим, что:
[
x = 15 \quad \text{и} \quad y^2 = 2025 - 15^2 = 2025 - 225 = 1800.
]
[
y = \sqrt{1800} = \sqrt{36 \times 50} = 6\sqrt{50} \text{ (не целое)}.
]

Дальше продолжаем алгоритм и пробуем:
[
x = 30 \quad \text{и} \quad y^2 = 2025 - 30^2 = 2025 - 900 = 1125 \ (не целое),
]
[
x = 37 \quad y^2 = 2025 - 37^2 = 2025 - 1369 = 656 (не целое).
]
[
x = 45 \quad y^2 = 2025 - 45^2 = 2025 - 2025 = 0.
]

После проб разных вариантов, находим, что:
[
2025 = 45^2 + 0^2,
]
Следовательно, 2025 может быть представлены в виде суммы двух квадратов целых чисел:
[
2025 = 45^2 + 0^2.
]

Таким образом, нужные числа ( (45, 0) ). 👍