Принцип Дирихле (или принцип ящиков) гласит, что если (n) объектов помещаются в (m) ящиков, и если (n > m), то по крайней мере один ящик будет содержать более одного объекта. Этот принцип можно использовать для решения различных задач, включая задачу о людях, рожденных в одном из 13 месяцев.

Задача о рождениях

Предположим, что мы рассматриваем группу людей, рожденных в разные месяцы. Если у нас есть 13 месяцев (например, в условиях задания, когда предполагается перенос дополнительных дней в календарь), и мы хотим узнать, каково минимальное количество людей, которых нужно расселить по этим месяцам, чтобы гарантировать, что хотя бы два человека родились в одном и том же месяце.

Применение принципа Дирихле

Давайте обозначим:

(n) — количество людей.(m = 13) — количество месяцев.

Чтобы гарантировать, что хотя бы один месяц будет иметь более одного человека, необходимо, чтобы количество людей (n) превышало количество месяцев (m):

[
n > m
]

Следовательно, если мы возьмем (n = 14) (или любое большее число), то по принципу Дирихле, минимум один месяц будет содержать более одного рожденного человека.

Обобщение

Обобщение этого принципа можно сформулировать следующим образом:

Если (n) объектов распределяются по (m) категориям (или ящикам), и при этом (n > m), то по крайней мере в одной категории будет находиться минимум (\lceil n / m \rceil) объектов.

Применяя это на практике:

Если у вас есть (n) людей и вы распределяете их по (m) месяцам, по формуле (\lceil n / m \rceil) вы можете определить, сколько минимум людей должно быть в одном месяце.

В случае с 14 людьми и 13 месяцами — как была показана выше — в одном месяце будет, по крайней мере, 2 человека.

Таким образом, принцип Дирихле полезен для решения задач подобного вида, позволяя понять распределение объектов (в данном случае людей) по различным категориям (месяцам).