Чтобы вычислить ( C ) из выражения ( C_{5}^{12} ), мы используем формулу сочетаний, которая определяет, сколько способов можно выбрать ( k ) элементов из ( n ) элементов без учета порядка. Формула выглядит так:

[
C_{k}^{n} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]

В твоем случае ( n = 12 ) и ( k = 5 ). Подставляем значения в формулу:

[
C_{5}^{12} = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!}
]

Теперь нам нужно вычислить ( 12! ), ( 5! ) и ( 7! ):

( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 )( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 )( 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7! )

Мы можем упростить ( \frac{12!}{5! \cdot 7!} ) путем подстановки:

[
12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!
]

Таким образом:

[
C_{5}^{12} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{5! \cdot 7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5!}
]

Теперь подставим ( 5! = 120 ):

[
C_{5}^{12} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{120}
]

Выполним умножение:

[
12 \times 11 = 132
]
[
132 \times 10 = 1320
]
[
1320 \times 9 = 11880
]
[
11880 \times 8 = 95040
]

Теперь делим на ( 120 ):

[
C_{5}^{12} = \frac{95040}{120} = 792
]

Таким образом, ответ:

[
C_{5}^{12} = 792
]