Нужна небольшая уточняющая деталь, чтобы дать точный ответ.

Фраза «равного суммарного расстоя до сторон» может пониматься по‑разному. Я предлагаю выбрать одно из трёх смыслов; какой вам нужен, или дать варианты для всех?

1) «Равные расстояния до сторон» — т.е. точка, у которой перпендикулярные расстояния до трёх сторон одинаковы (d(Р, AB)=d(Р, BC)=d(Р, CA)). (Классический пример: инцентр, а также три эксцентра.)

2) «Минимизирующая суммарное расстояние до сторон» — т.е. точка P, минимизирующая S(P)=d_a+d_b+d_c (необходимо уточнить, разрешаем ли P выходить за пределы треугольника или только внутри). (Задача вида L1; поведение отличается от минизации сум квадратов.)

3) «Минимизирующая сумму квадратов расстояний до сторон» — т.е. точка минимизирующая Q(P)=d_a^2+d_b^2+d_c^2 (точно есть единственная такая точка и её можно явным образом построить).

Если подтвердите, какой из смыслов вы хотите, я подробно опишу несколько конструкций (с построением шаг за шагом), сравню их и дам строгие доказательства. Чтобы не терять время, ниже вкратце даю обзор по пункту (1) — наиболее типичному.

Короткий обзор для варианта (1) — «равные расстояния до сторон» (equidistant from sides)

Инцентр (внутренний центр описанной окружности вписанного круга).
Построение:
1) Построить биссектрисы ∠A и ∠B (геометрически: делить угол пополам).
2) Их пересечение I — инцентр.
Доказательство:

Пересечение биссектрис равноудалено от обеих сторон каждого угла (свойство биссектрисы). Поэтому расстояния от I до сторон AB и AC равны. Аналогично для других пар сторон. Следовательно d(I,AB)=d(I,BC)=d(I,CA) = радиус вписанного круга r. Этот r существует и >0 для внутренней точки.

Эксцентры (вне треугольника)
Построение:
1) Для каждого верха взять одну внешнюю биссектрису и две внутренние/внешние так, чтобы пересечение даёт центр окружности, касающейся продолжений двух сторон и третьей стороны извне.
2) Получающиеся три эксцентра — центры описанных вневписанных окружностей.
Доказательство:

Точно так же как для инцентра: пересечение соответствующих (внешних/внутренних) биссектрис равноудалено от трёх прямых-сторон (рассматриваемых как прямые, не отрезки), следовательно расстояния равны (это радиус соответствующей вневписанной окружности).

Альтернативные конструкции одного и того же пункта (инцентра):

Построить вписанную окружность: найти точки касания (например пересечения биссектрис с противоположными сторонами дают точки касания), затем построить касательную окружность; её центр — инцентр (эквивалентно первому способу).Через биссектрисы углов в вершинах: можно строить как пересечение двух биссектрис — самый короткий практический способ.

Сравнение методов (для варианта 1):

Пересечение биссектрис — простейшее, конструкция с наименьшим числом построений; даёт внутренний центр.Через вписанную окружность — требует построения окружности, но интуитивно показывает геометрический смысл (центр равенудалён до сторон, т.к. окружность касается их).Построение эксцентров требует работы с внешними биссектрисами; полезно, если нужны радиусы касательных окружностей изнутри/снаружи.

Если вы имели в виду (2) или (3) — минимизацию суммы (L1) или суммы квадратов (L2) расстояний до сторон — напишу подробно: как строится оптимальная точка, её единственность/локальные экстремумы, примеры и доказательства. Какой вариант предпочитаете?