Ниже — пример типичного некорректного «доказательства», разбор ошибки и корректная формулировка свойств детерминанта.
Некорректное «доказательство» (с ошибкой). Пусть $A$ обратима. Тогда
$$\det (A+B)=\det (A(I+A^{-1}B))=\det A\det (I+A^{-1}B).$$ Далее утверждают, будто $\det (I+X)=1+\det X$ для любого $X$, и потому
$$\det (A+B)=\det A(1+\det (A^{-1}B))=\det A+\det B.$$
Контрпример, опровергающий утверждение. Возьмём $n=2$, $A=I_2$, $B=I_2$. Тогда
$$\det (A+B)=\det (2I_2)=2^2=4,\det A+\det B=1+1=2,$$ то есть равенство $\det (A+B)=\det A+\det B$ неверно.
Где ошибка в «доказательстве». Ошибочная замена — это предположение
$$\det (I+X)=1+\det X,$$ которое в общем неверно. Для $X=I_2$ левая часть $\det (2I_2)=4$, правая $1+\det I_2=2$ — несоответствие показывает ошибочность шага.
Правильная формулировка и границы применимости. Детерминант — не линейный оператор на пространстве матриц при $n\ge 2$. Правильные свойства:
- Мультипликативность:
$$\det (AB)=\det A\det B.$$ - Однородность степени $n$:
$$\det (cA)=c^n\det A\text{для числа}c.$$ - Многочленность/мультлинейность по столбцам (или по строкам): если столбцы матриц $A$ и $B$ записать как $A=[a_1,\dots ,a_n]$, $B=[b_1,\dots ,b_n]$, то по мультилнейности
$$\det (A+B)=\sum _{S\subseteq \{1,\dots ,n\}}\det (c_1^S,\dots ,c_n^S),$$ где $c_i^S=a_i$ если $i\in S$, и $c_i^S=b_i$ если $i\notin S$. Это развёртывание даёт $2^n$ слагаемых, а не только два.
Следствия и частные случаи, когда линейность по матрицам действует:
- Для $n=1$ детерминант — просто число, и действительно $\det (A+B)=\det A+\det B$.
- Если $A$ и $B$ различаются только в одном столбце (все остальные столбцы совпадают), то по линейности по этому столбцу
$$\det (A+B)=\det A+\det B.$$ - Более общая достаточная условие: все смешанные слагаемые в разложении по мультилнейности равны нулю (например, из-за линейной зависимости соответствующих наборов столбцов).
Кратко: неверно считать детерминант линейным как функционал на матрицах общего вида; он линейный только по каждой отдельной строке (столбцу) при прочих строках (столбцах) фиксированных.