Кратко и по существу — три разных доказательства того, что
$$\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$$
1) Доказательство через ряд Фурье и формулу Парсеваля.
- На отрезке $[-\pi ,\pi ]$ рассмотрим нечётную $2\pi$-периодическую функцию $f(x)=x$. Её разложение в синусный ряд даёт (по вычислению коэффициентов)
$$x=2\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin (nx),x\in (-\pi ,\pi ).$$ - По формуле Парсеваля для рядов Фурье
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{2}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\text{коэффициент при}\sin (nx)\right)}^2.$$ Левая часть вычисляется напрямую:
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{2}dx=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{2{\pi }^3}{3}=\frac{{\pi }^2}{3}.$$ Правая часть равна
$$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(2\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\right)}^2=4\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}.$$ Отсюда
$$\frac{{\pi }^2}{3}=4\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$$
2) Доказательство Эйлера через факторизацию синуса (инфинитный произведок).
- Известно (Эйлер) представление
$$\sin (\pi x)=\pi x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right),$$ которое можно получить, рассматривая нули $\sin (\pi x)$ и строя аналогичную факторизацию для целой функции порядока 1 (стандартная теорема Вейерштрасса / Эйлера).
- Разложим обе части в степенной ряд около $x=0$. Слева
$$\sin (\pi x)=\pi x-\frac{(\pi x{)}^3}{6}+O(x^5).$$ Справа
$$\pi x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)=\pi x\left(1-\left(\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}\right)x^2+O(x^4)\right).$$ Сравнивая коэффициенты при $x^3$ (то есть при $x\cdot x^2$) получаем
$$-\frac{{\pi }^3}{6}=-\pi \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$$ (Чтобы это сделать полностью строго, требуется обоснование бесконечного произведка; для студентов анализа это стандартно.)
3) Интегральный приём (разложение и интегрирование по параметру).
- Используем разложение геометрической прогрессии под знаком интеграла:
$$\frac{1}{1-xy}=\sum _{n=0}^{\infty }(xy{)}^n\text{для}|x|,|y|<1.$$ Интегрируем по квадрату $[0,1]\times [0,1]$:
$${\int }_0^1{\int }_0^1\frac{1}{1-xy}dxdy=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_0^1{\int }_0^1{x}^n{y}^{n}dxdy=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{(n+1{)}^2}=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{m^2}.$$ - Оценим двойной интеграл иначе: сначала по $x$,
$${\int }_0^1\frac{dx}{1-xy}=-\frac{\ln (1-y)}{y},$$ следовательно
$$\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{m^2}={\int }_0^1\frac{-\ln (1-y)}{y}dy.$$ Эту последнюю интегральную величину можно вычислить стандартными методами (например, через интеграл ${\int }_0^{\pi /2}\ln (\sin t)dt$ либо через интеграл по частям и известное значение ${\int }_0^{\pi /2}\ln (\sin t)dt=-\frac{\pi }{2}\ln 2$ и связки с полилогарифмами), что даёт
$${\int }_0^1\frac{-\ln (1-y)}{y}dy=\frac{{\pi }^2}{6}.$$ (Для полного строгоного вычисления этого интеграла удобно использовать замену $y=\frac{1-\cos t}{1+\cos t}$ или связь с интегралами ${\int }_0^{\pi /2}\ln (\sin t)dt$; детали — стандартный курс интегралов/специальных функций.)
Сравнение методов по строгости и объяснимости
- Метод Парсеваля (Фурье): умеренно строг и относительно конструктивен. Требует знаний рядов Фурье, ортогональности синусов/косинусов и формулы Парсеваля. Хорош для студентов старших курсов (реальный анализ/диффур/Фурье). Интуитивно понятен: связует функцию и её гармоники.
- Метод факторизации синуса (Эйлер): очень элегантен и даёт прямую формулу; требует обоснования бесконечного произведка и работы с аналитическими функциями — формально строже в рамках теории целых функций. Для любознательных школьников идея сопоставления нулей и произведка может быть понятна интуитивно, но полная строгость — студенческая.
- Интегральные приёмы: гибкие и часто наиболее близки к элементарному анализу (разложение в степенной ряд, интегрирование почленно, элементарные подстановки). Менее «чистые» для вычисления конкретного значения без дополнительных известных интегралов, но хорошо подходят для студентов, знакомых с рядом Тейлора, Fubini и простыми подстановками.
Кому что рекомендовать
- Школьникам: показать численную сходимость и интуитивную версию Эйлера (факторизация через нули синуса) как красивую идею; для жёсткого доказательства лучше сначала изучить элементарный анализ и ряды.
- Студентам первого курса: доказательство через ряды Фурье и Парсеваля — отличное и обучающее; интегральные приёмы — полезны для практики.
- Для полного математического строгого аппарата: факторизация синуса в рамках теории аналитических функций или доказательство с использованием вычетов (комплексный анализ) дают высокий уровень строгости.
Вывод: все три метода приводят к одному результату
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6},$$ различаются по требованиям к предварительным знаниям и по степени эстетической простоты.