Дробь $\frac{a}{b}$ в несократимом виде (т.е. $\gcd (a,b)=1$) является конечной десятичной тогда и только тогда, когда знаменатель $b$ делит некоторую степень $10$: существуют $k$ такие, что \(\;b\mid 10^k\.\)
Эквивалентное и удобное условие: $b$ в разложении на простые множители содержит только $2$ и $5$, т.е. $b=2^m{5}^n$ для некоторых неотрицательных целых $m,n$.
Краткое объяснение: если $b\mid 10^k$, то $\frac{a}{b}=\frac{A}{10^k}$ — конечная десятичная; наоборот, если десятичная запись конечна с $k$ знаками, то $10^k\frac{a}{b}$ — целое, значит $b\mid 10^k$, а простые делители $10$ — только $2$ и $5$.
Примеры: $\frac{3}{8}=0.375$ — да ($8=2^3$), $\frac{7}{12}$ — нет ($12=2^2\cdot 3$).