Модель и базовые предположения (классический вариант):
- Есть три двери, за одной — приз (машина), за двумя — козы. Игрок случайно выбирает одну дверь.
- Ведущий знает, где приз; он всегда открывает одну из двух не выбранных дверей и всегда открывает козу (никогда не открывает дверь с призом).
- После открытия ведущего игроку предлагается сменить выбор на оставшуюся закрытую дверь.
- Если у ведущего есть выбор между двумя козами (когда игрок изначально выбрал приз), предполагается, что он выбирает одну из них случайно (равновероятно) или, более общо, что его правило выбора не зависит от места приза (симметрично).
Доказательство того, что смена увеличивает шанс (при указанных допущениях):
- Вероятность того, что при первом выборе игрок взял машину: $\frac{1}{3}$. Вероятность, что он взял козу: $\frac{2}{3}$.
- Если при первой попытке игрок взял машину ($1/3$), ведущий откроет козу, и при смене игрок проигрывает.
- Если при первой попытке игрок взял козу ($2/3$), ведущий обязан открыть другую козью дверь, и при смене игрок обязательно получит машину.
- Следовательно вероятность выигрыша при смене равна вероятности первоначально выбрать козу, то есть $P(\text{выигрыш при смене})=\frac{2}{3}.$ - Альтернативно: $P(\text{выигрыш при смене})=1-P(\text{изначально взял машину})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$
Когда смена не дает преимущества (важно понимать условие ведущего):
- Если ведущий открывает одну из двух оставшихся дверей абсолютно случайно и не знает/не учитывает, где приз (то есть может случайно открыть дверь с машиной и в случае открытия машины игра прекращается; но если мы условились рассматривать только сценарии, где ведущий открыл козу и предложил смену), то условные вероятности меняются.
- Конкретно: если ведущий выбирает случайную дверь среди двух не выбранных и мы условились на событии «ведущий открыл козу», то
$$P(\text{изначально был приз}\mid \text{ведущий открыл козу})=\frac{(1/3)\cdot 1}{(1/3)\cdot 1+(2/3)\cdot (1/2)}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2},$$ и тогда смена даёт шанс $1/2$ (ничего не меняет).
- Ещё: если правило выбора ведущего при наличии двух коз явно зависит от расположения приза (и этот механизм известен игроку), то условная вероятность того, что оставшаяся закрытая дверь содержит приз, может отличаться от $\frac{2}{3}$ и смена не обязана быть полезной.
Короткий итог:
- При классических предположениях (ведущий знает, никогда не открывает приз, всегда открывает козу и при наличии выбора между двумя козами выбирает «симметрично», обычно равновероятно) смена увеличивает вероятность выигрыша с $\frac{1}{3}$ до $\frac{2}{3}$.
- Если поведение ведущего иное (особенно если выбор открываемой двери несимметричен или ведущий действует случайно без знания размещения приза), результат может измениться — смена может либо не помочь, либо её преимущество нужно вычислять через условные вероятности.