Искомый предел равен $+\infty$.
Короткое и корректное вычисление с объяснением приёмов:
1) Умножим разность на сопряжённое, чтобы устранить корень:
$$\sqrt{n^2+n}-n=\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}.$$ Это — приём рационализации разности с корнем.
2) Подставляем в $x_n$:
$$x_n=n(\sqrt{n^2+n}-n)=\frac{n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}.$$ Вынесем $n$ из-под корня (факторизация по степени):
$$x_n=\frac{n^2}{n(\sqrt{1+1/n}+1)}=\frac{n}{\sqrt{1+1/n}+1}.$$
3) Применим предельный переход. Так как $\sqrt{1+1/n}\to 1$ при $n\to \infty$, знаменатель стремится к $2$, а числитель $n\to \infty$. Следовательно
$$x_n\to +\infty .$$
Альтернативный контроль (асимптотика): через разложение $\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}+o(x)$ при $x\to 0$ получаем $\sqrt{n^2+n}-n=n(\sqrt{1+1/n}-1)=\frac{1}{2}+o(1)$, поэтому $x_n=\frac{n}{2}+o(n)\to +\infty$.
Замечание о типичных ошибках: нельзя напрямую перемножать пределы, если один из множителей неограничен; корректный путь — рационализация или выделение главного члена (факторизация/асимптотика).