Утверждение некорректно: точечная сходимость $f_n(x)\to f(x)$ при каждом $x$ сама по себе не даёт права менять предел и интеграл. Приведу контрприменты и затем достаточные условия.
Контрприменты
- Простой пример на отрезке $[0,1]$:
$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}n,& 0\le x\le \frac{1}{n},\\ 0,& \frac{1}{n}<x\le 1.\end{array}$ Тогда для любого фиксированного $x>0$ при больших $n$ имеем $f_n(x)=0$, и значит $f_n(x)\to 0$ для всех $x\in (0,1]$ (и в $x=0$ тоже можно считать предел $0$). Но
${\int }_0^1{f}_n(x)dx=n\cdot \frac{1}{n}=1$ для всех $n$. Следовательно
$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{f}_n(x)dx=1\ne 0={\int }_0^1\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)dx.$ То есть перестановка предела и интеграла даёт ошибку.
- Ещё пример (колебания): на $[0,2\pi ]$ пусть $f_n(x)=\sin (nx)/n$. Тогда $f_n(x)\to 0$ всюду, и ${\int }_0^{2\pi }{f}_n(x)dx=0$ — здесь совпадает; но можно взять $g_n(x)=\sin (n^{2}x)/\sqrt{n}$ с подходящими масштабами, чтобы интегралы не сходились к интегралу предела — общий вывод: точечная сходимость не контролирует «массивность» области, где функции велики или быстро осциллируют.
Достаточные условия, гарантирующие возможность перестановки
- Теорема о доминированной сходимости (Лебега):
на измеримом пространстве $(X,\mu )$ если $f_n$ измеримы, $f_n\to f$ почти всюду и существует интегрируемая функиция $g$ такая, что $|f_n(x)|\le g(x)$ почти везде для всех $n$, то
$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{n}d\mu ={\int }_{X}fd\mu .$
- Теорема о монотонной сходимости (Монгомери / Беволю):
если $0\le f_1\le f_2\le \cdots$ и $f_n\to f$ точечно, то
$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{n}d\mu ={\int }_{X}fd\mu .$
- Равномерная сходимость на множестве конечной меры:
если $\mu (X)<\infty$ и $f_n\to f$ равномерно на $X$, то
∣∫Xfn−∫Xf∣≤μ(X)sup⁡x∈X∣fn(x)−f(x)∣→0,\displaystyle\left|\int_X f_n-\int_X f\right|\le \mu(X)\sup_{x\in X}|f_n(x)-f(x)|\to0, ∫X fn −∫X f ≤μ(X)x∈Xsup ∣fn (x)−f(x)∣→0, поэтому ${\lim }_n{\int }_X{f}_n={\int }_{X}f$. Для отрезка $[a,b]$ это даёт: если $f_n$ непрерывны и $f_n\to f$ равномерно, то можно менять предел и интеграл (Риман).
- Ограниченность на множестве конечной меры (частный случай доминирования):
если $\mu (X)<\infty$ и существует константа $M$ такая, что $|f_n(x)|\le M$ для всех $n,x$, и $f_n\to f$ почти всюду, то по доминированной сходимости (или просто доминированию константой $M$) имеем перестановку.
Короткие пояснения почему эти условия работают:
- Монотонная сходимость использует монотонность и теорему Леви; доминированная сходимость использует то, что интеграл ошибки $|f_n-f|$ контролируется интегралом $2g$ и убывает к нулю по теореме Лебега; равномерная сходимость даёт контроль через супремум и конечную меру.
Вывод: точечная сходимость сама по себе недостаточна. Для перестановки предела и интеграла нужны дополнительные условия (доминирование интегрируемой функцией, монотонность, равномерная сходимость на множестве конечной меры и т.п.).