Краткий ответ: искомая точка — точка Ферма (Торричелли). Детали и случаи ниже.
1) Наличие и единственность минимума
- Функция суммы расстояний $f(P)=PA+PB+PC$ непрерывна и строго выпукла на плоскости, поэтому глобальный минимум существует и единственен.
2) Условия и результат
- Если в треугольнике есть угол $\ge 120^{\circ }$ (т. е. хотя бы один из $\angle A,\angle B,\angle C$ не меньше $120^{\circ }$), то точка минимума совпадает с соответствующей вершиной. Пример: если $\angle A\ge 120^{\circ }$, то минимум достигается в $P=A$.
- Если все углы меньше $120^{\circ }$ (в том числе острый и некоторые прямые? — прямой угол $90^{\circ }<120^{\circ }$ попадает в этот случай), то минимум достигается во внутренней точке $P$ (точке Ферма) с геометрической характеристикой: лучи $PA,PB,PC$ попарно образуют углы по $120^{\circ }$.
3) Вариационный (аналитический) критерий
- При стационарной внутренней точке градиент ноль, что даёт векторное условие
$$\frac{PA}{PA}+\frac{PB}{PB}+\frac{PC}{PC}=0.$$ Сумма трёх единичных векторов равна нулю тогда и только тогда, когда они направлены под углами $120^{\circ }$ друг к другу; отсюда и требование о трёх равных по $120^{\circ }$ углах в точке Ферма.
4) Геометрическое построение и доказательство
- Построение (стандартное): на сторонах треугольника, например на $AB$ и $AC$, строят равносторонние треугольники наружу с вершинами $B^{\prime }$ и $C^{\prime }$. Прямые $B^{\prime }C$ и $C^{\prime }B$ пересекаются в точке Ферма $P$. Эквивалентно: повернуть отрезок $PB$ вокруг $P$ на $60^{\circ }$ так, чтобы он совместился с $PA$; при выполнении условия углов $120^{\circ }$ поворот переводит вершину $B$ в точку на прямой через $C$, что даёт пересечение.
- Краткое доказательство корректности: если в точке $P$ углы между $PA,PB,PC$ равны $120^{\circ }$, то для каждой пары, с помощью поворота на $60^{\circ }$ вокруг $P$, получаем равенства длин, которые вместе с треугольниковыми неравенствами показывают минимальность суммы. Обратное: при минимуме внутренней точки вариационное условие даёт векторное равенство выше, из которого следует равенство углов $120^{\circ }$.
5) Иллюстрация случаев
- Все углы < $120^{\circ }$: внутренняя точка Ферма с углами $120^{\circ }$.
- Есть угол $=120^{\circ }$: точка Ферма совпадает с этой вершиной (внутренняя точка отсутствует).
- Есть угол $>120^{\circ }$: минимум в вершине с этим углом.
6) Замечание по вычислению
- Для численного поиска можно минимизировать $f(P)$ (например, методом градиентного спуска или методом Симплекс Нелдера—Мида); для аналитики применять систему уравнений, эквивалентную векторному условию $\sum \frac{PA}{PA}=0$.
Это вся необходимая характеристика точки, условий существования и способов нахождения минимизирующей точки суммы расстояний в треугольнике.