Кратко и по сути — способы и альтернативы.
1) Классический циркуль+линейка (стандарт)
- Для треугольника $ABC$ центр описанной окружности $O$ — пересечение серединных перпендикуляров к сторонам. Построение:
1. Из вершин $A$ и $B$ с радиусом $>\frac{AB}{2}$ проводим дуги — получаем две точки пересечения; прямая через эти точек — серединный перпендикуляр к $AB$.
2. Аналогично строим серединный перпендикуляр к $BC$.
3. Их пересечение — искомый центр $O$.
- Особые случаи: если треугольник прямоугольный, $O$ — середина гипотенузы; для остроугольного треугольника $O$ внутри, для тупого — снаружи.
2) Аналитический (альтернатива при наличии координат)
- Координатная формула центра для $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$:
$$D=2(x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2))$$ $$x_O=\frac{(x_1^2+y_1^2)(y_2-y_3)+(x_2^2+y_2^2)(y_3-y_1)+(x_3^2+y_3^2)(y_1-y_2)}{D}$$ $$y_O=\frac{(x_1^2+y_1^2)(x_3-x_2)+(x_2^2+y_2^2)(x_1-x_3)+(x_3^2+y_3^2)(x_2-x_1)}{D}$$ - Практически полезно при численных вычислениях или на координатной бумаге.
3) Ограниченные наборы инструментов — основные теоремы и следствия
- Только циркуль (без линейки): по теореме Мора–Маскерони любое построение, выполнимое циркулем и линейкой, можно выполнить только циркулем. Значит, центр описанной окружности можно построить и только циркулем; конкретные построения технически громоздки (последовательность построений пересечений окружностей, нахождение середины и т.д.).
- Только прямая линейка (без циркуля): в общем случае недостаточно. По теореме Понселе — Штейнера: если дополнительно дана окружность с известным центром (один круг и его центр), то любой циркулем+линейкой построимый объект, в том числе центр описанной окружности, можно построить только прямой линейкой. Но прямой линейкой в общем (без доп. данных) построить центр нельзя.
- Прямой линейкой при наличии двух данных окружностей (или одной окружности + её центр) — возможны преобразования, позволяющие получить центр треугольника.
4) Другие практичные методы
- Через пересечение перпендикуляров: можно построить перпендикуляр к стороне через её середину (как в п.1) или через построение прямой, перпендикулярной к данной прямой в данной точке (если умеете строить перпендикуляр другими приёмами).
- С помощью инверсии и вспомогательных окружностей — полезно в теоретических задачах или при специальных данных.
Резюме: самый простой и распространённый способ — пересечение двух серединных перпендикуляров (циркуль+линейка). Если инструменты ограничены, то:
- только циркулем — возможно (Морь–Маскерони), но сложнее;
- только линейкой — в общем невозможно; возможно, если дана дополнительная окружность с известным центром (Понселе–Штейнер).