Коротко о смысле производной как локального линейного приближения.
- Производная в точке $x_0$ определена как предел скользящего коэффициента:
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$ Если предел существует, то функция вблизи $x_0$ ведёт себя как линейная функция с угловым коэффициентом $f^{\prime }(x_0)$.
- Формулировка локального линейного приближения:
$$f(x_0+h)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)h+o(h)(h\to 0),$$ где $o(h)$ — малое по сравнению с $h$. Это значит: касательная линия
$$y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$ даёт первый (линейный) член разложения функции в окрестности точки и является «лучшим» линейным приближением.
Пример, где касательная существует, но производная не даёт информации о локальном экстремуме.
- Рассмотрим $f(x)=x^3$. Тогда
$$f^{\prime }(x)=3x^2,f^{\prime }(0)=0,$$ значит в точке $0$ существует касательная $y=0$ (горизонтальная). Тем не менее точка $x=0$ не является ни максимумом, ни минимумом: при малых $x<0$ имеем $f(x)<0$, при малых $x>0$ — $f(x)>0$. Это точка перегиба с горизонтальной касательной.
- Примечание о втором производном тесте: если $f^{\prime }(x_0)=0$ и $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, тест второго порядка не даёт ответа — нужно смотреть старшие члены разложения (в нашем примере старший член $\sim x^3$ показывает перегиб).