Исправленное (корректное) доказательство и обнаруженная ошибка.
Корректное доказательство:
Пусть $m,n\in \mathbb{N}$ и $m>n$. Тогда
$$m^2>n^2,$$ и, поскольку $mn>0$, можно поделить обе части на $mn$:
$$\frac{m^2}{mn}>\frac{n^2}{mn}⟹\frac{m}{n}>\frac{n}{m}.$$
Обнаруженная типовая ошибка:
в «неправильном» доказательстве часто умножают или делят неявно на выражение, знак которого не проверен (например, на $m-n$ или на $mn$), — а при умножении/делении не на положительное число направление неравенства может поменяться или операция быть недопустимой (деление на ноль). В нашей задаче таких проблем нет, потому что $m,n\in \mathbb{N}$ дают $mn>0$, поэтому деление на $mn$ корректно.