Формулировка (суммы). Для вещественных или комплексных чисел $a_i,b_i$ ($i=1,\dots ,n$) верно
∣∑i=1naibi∣2≤(∑i=1n∣ai∣2)(∑i=1n∣bi∣2). \left|\sum_{i=1}^n a_i b_i\right|^2 \le \left(\sum_{i=1}^n |a_i|^2\right)\left(\sum_{i=1}^n |b_i|^2\right).
i=1∑n ai bi 2≤(i=1∑n ∣ai ∣2)(i=1∑n ∣bi ∣2).
Классическое доказательство (критические шаги). Рассмотрим квадратичную форму по параметру $\lambda$:
$$F(\lambda )=\sum _{i=1}^n|a_i-\lambda b_i{|}^2\ge 0\text{для всех}\lambda \in \mathbb{C}.$$ Раскрыв, получаем
$$F(\lambda )=\sum |a_i{|}^2-2\Re \left(\overline{\lambda }\sum a_i\overline{b_i}\right)+|\lambda {|}^2\sum |b_i{|}^2.$$ Минимум по $\lambda$ достигается при $\lambda =\frac{\sum a_i\overline{b_i}}{\sum |b_i{|}^2}$ (если знаменатель ненулевой). Подставляя минимальное значение (или требуя, чтобы дискриминант квадратичной функции не был положителен), получаем искомое неравенство. Критические идеи здесь:
- использование неотрицательности нормы $\Vert a-\lambda b{\Vert }^2$;
- выбор оптимального $\lambda$ (проекция одного вектора на другой) или эквивалентно анализ дискриминанта.
Альтернативный взгляд: векторный/матричный. Векторы $a=(a_i)$, $b=(b_i)$ в ${\mathbb{C}}^n$ с скалярным произведением $⟨a,b⟩=\sum a_i\overline{b_i}$. Положительность матрицы Грама
$$G=\left(\begin{array}{cc}⟨a,a⟩& ⟨a,b⟩\\ ⟨b,a⟩& ⟨b,b⟩\end{array}\right)⪰0$$ даёт $\det G=\Vert a{\Vert }^2\Vert b{\Vert }^2-|⟨a,b⟩{|}^2\ge 0$, откуда то же неравенство. Критический шаг — факт положительной полуопределённости Грама (норма даёт положительную квадратичную форму).
Условие равенства. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы пропорциональны: существует $\lambda$ такой, что $a_i=\lambda b_i$ для всех $i$ (или один из векторов нулевой).
Обобщения на интегралы. Переходят формально заменой сумм интегралами: для измеримых функций $f,g$ на мере $\mu$ при условии $f,g\in L^2(\mu )$ ∣∫fg‾ dμ∣2≤(∫∣f∣2 dμ)(∫∣g∣2 dμ). \left|\int f\overline{g}\,d\mu\right|^2 \le \left(\int |f|^2\,d\mu\right)\left(\int |g|^2\,d\mu\right).
∫fg dμ 2≤(∫∣f∣2dμ)(∫∣g∣2dμ). Доказательство тождественно: рассмотреть функционал
$$\Phi (\lambda )=\int |f-\lambda g{|}^{2}d\mu \ge 0$$ и минимизировать по $\lambda$, либо использовать то, что пространство $L^2(\mu )$ — евклидово (Гильбертово), поэтому Грамова матрица/положительная полуопределённость аналогично дают неравенство. Требования: $f,g$ измеримы и квадратно интегрируемы (чтобы все интегралы конечны).
Дальнейшие обобщения.
- Теорема Гёльдера (Holder): для сопряжённых показателей $p,q$ имеем $\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$; Cauchy–Schwarz — частный случай $p=q=2$.
- Общая формулировка для любого внутреннего произведения в гильбертовом пространстве: $|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$.
- Для многих векторов — неотрицательность матрицы Грама даёт системы неравенств (например, неотрицательность всех собственных миноров, Hadamard-неравенство и т.д.).
Коротко: ключевой шаг — использование положительности нормы/квадратичной формы и выбор оптимальной скалярной комбинации (проекции); переход к интегралам требует только замены суммы на интеграл и условия принадлежности $L^2$.