Для уравнения $\sin x=a$:
1. Действительность решения:
- Если $|a|>1$, решений нет (в действительных числах).
- Если $|a|\le 1$, есть решения.
2. Общий вид решений (учёт периодичности и симметрии):
- Обычно нужно две семейства решений, потому что $\sin (\pi -t)=\sin t$. Поэтому
$$x=\arcsin (a)+2k\pi \text{или}x=\pi -\arcsin (a)+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$ - Эквивалентная компактная запись:
$$x=(-1{)}^k\arcsin (a)+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$
3. Когда достаточно только $x=\arcsin (a)+2k\pi$:
- Только в случае, когда вы ищете решение на основном интервале $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ (т.е. единственное принципиальное решение $x=\arcsin (a)$);
- либо когда второе семейство совпадает с первым по модулю $2\pi$. Это происходит при $a=\pm 1$ (тогда $\arcsin (1)=\frac{\pi }{2}$, $\pi -\arcsin (1)=\frac{\pi }{2}$; аналогично для $-1$).
4. Примеры:
- $a=\frac{1}{2}:\arcsin (a)=\frac{\pi }{6}$. Решения: $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ и $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$.
- $a=0:x=0+2k\pi$ и $x=\pi +2k\pi$.
- $a=1:x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ (одно семейство).
Вывод: для общих задач на все $x$ нужно учитывать и периодичность, и симметрию — применять оба семейства; запись $x=\arcsin (a)+2k\pi$ достаточна только в специальных ограниченных ситуациях, перечисленных выше.