Кратко — три разных стратегии и их сравнение.
1) Доказательство через делимость (классическое).
Предположим противное: $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ в несократимой форме (целые $p,q>0$, $\gcd (p,q)=1$). Тогда
$$p^2=2q^2.$$ Отсюда $p^2$ чётно, значит $p$ чётно: $p=2k$. Подставляем:
$$4k^2=2q^2\Rightarrow q^2=2k^2,$$ откуда $q$ тоже чётен. Противоречие с $\gcd (p,q)=1$. Значит $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.
2) Доказательство через бесконечный нисходящий процесс (бесконечность / бесконечное уменьшение).
Опять $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ даёт $p^2=2q^2$. Как выше, $p$ чётно, положим $p=2k$, тогда $q^2=2k^2$ и $q$ чётен. Тогда $(p,q)$ даёт меньшую пару $(q,k)$, тоже целочисленную и удовлетворяющую тому же соотношению. Повторяя, получаем бесконечную строгую убывающую последовательность положительных целых чисел, чего не может быть (принцип наименьшего элемента или принцип бесконечного нисхождения). Следовательно противоречие, и $\sqrt{2}$ не рационально.
3) Доказательство через непрерывную дробь (аргумент «через бесконечность» в другом смысле).
Для рациональных чисел простая непрерывная дробь конечна. Для $\sqrt{2}$ есть явная бесконечная периодическая непрерывная дробь
$$\sqrt{2}=[1;2,2,2,\dots ]=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots }}}.$$ Поскольку дробь бесконечна, $\sqrt{2}$ не может быть рациональным.
Сравнение и что требуется в доказательствах:
- Делимость (1) — самый короткий и элементарный способ; использует только простые свойства чётности и сокращённости дроби. Опирается на уникальность делимости по 2 (частный случай основной теоремы арифметики).
- Бесконечный нисходящий процесс (2) по сути эквивалентен (1) и делает явным использование принципа наименьшего элемента множества натуральных чисел (или принцип математической индукции/нет бесконечного убывания). Стиль доказательства другой, но логически близок.
- Непрерывная дробь (3) показывает более глубоковую природу: $\sqrt{2}$ имеет бесконечное (хотя периодическое) разложение, а рациональные — только конечное. Этот метод требует немного более «аналитической» подготовки (понятие непрерывной дроби), но даёт и дополнительные сведения (хорошие приближения рациональными).
Вывод: для элементарного доказательства достаточно метода делимости; метод бесконечного нисхождения — его альтернативная форма; метод непрерывной дроби даёт более структурное понимание и показывает «бесконечность» разложения.