Проблема: в индуктивном шаге вы используете утверждение, верное только при $n>1$, но база проверена только для $n=1$. Тогда при переходе от $n=1$ к $n=2$ вы не имеете права применять это утверждение, и доказательство содержит логический разрыв.
Как исправить (кратко, варианты):
1) Расширить базу. Если в шаге требуется справедливость для каких‑то меньших индексов (например для $n-1$), то нужно проверить базу для всех начальных значений до тех пор, пока эти обращения корректны. Например, если шаг использует факт, требующий $n>1$, достаточно проверить базы $P(1)$ и $P(2)$. Формально: доказать $P(1)$ и $P(2)$, а затем показать $\forall n\ge 2$\;($P(n)\Rightarrow P(n+1)$).
2) Начать индукцию с другого значения. Если утверждение верно только для $n\ge 2$, сформулируйте теорему как «$\forall n\ge 2P(n)$» и покажите базу $P(2)$, затем переход $\forall n\ge 2(P(n)\Rightarrow P(n+1))$.
3) Применить сильную индукцию (полную индукцию). Предположите справедливость всех предыдущих значений $P(1),\dots ,P(n)$ и на этой основе докажите $P(n+1)$. Тогда разрешены обращения к любым меньшим индексам, включая случай, который вызывает проблему.
Почему важно точное формулирование гипотезы:
- Индукция — это логический механизм, где допущения должны покрывать именно те случаи, которые вы используете в шаге. Если вы используете $P(k)$ для некоторого $k$, то ваша индуктивная гипотеза должна гарантировать именно $P(k)$.
- Неправильная или неполная база может привести к «дыре» в доказательстве и даже к ложному выводу (существуют классические контрпримеры, когда неверно оформлённая индукция «доказывает» ложное утверждение).
- Чёткая формулировка (начальный индекс, набор базовых случаев, вид инд. шага — обычный или сильный) делает доказательство корректным и проверяемым.
Краткий практический совет: проанализируйте, какие меньшие индексы вы используете в шаге, и обеспечьте базу/формулировку таким образом, чтобы все эти обращения были легитимны.