Кратко: выбор зависит от величин $n$ и $p$, требуемой точности и сложности модели.
1) Модели и условия
- Биномиальная модель: точная, при независимых испытаниях с одинаковой вероятностью успеха $p$ и числе испытаний $n$: $X\sim \mathrm{Bin}(n,p)$, $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$. Используйте, когда вычисления корректны и небольшая погрешность недопустима.
- Пуассоновское приближение: для редких событий при больших $n$ и малом $p$ с $\lambda =np$ фиксированным заменяют $X$ на $Y\sim \mathrm{Pois}(\lambda )$:
$$P(X=k)\approx P(Y=k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}.$$ Условие применимости — $n$ большой, $p$ маленький, $\lambda =np$ не слишком велик (обычно «умеренный»).
- Симуляция (монте‑карло): полезна, когда модель сложная (зависимости, сложное событие), требуется эмпирическое распределение или когда аналитические приближения ненадёжны. Для очень редких событий нужна техника уменьшения дисперсии (importance sampling, splitting), иначе прямая симуляция неэффективна.
2) Оценка погрешности приближения биномиального пуассоном
- Одна удобная граница (по Ле Каму для одинаковых п): суммарная вариация удовлетворяет
$$d_{TV}(\mathrm{Bin}(n,p),\mathrm{Pois}(\lambda ))\le 2n{p}^2=2p\lambda .$$ Значит, если $2n{p}^2$ мало (например $<0.01$), приближение хорошее.
3) Правила‑эмпирические пороги (руководство)
- Используйте биномиальное, если $p$ немал и/или вы хотите точность: например $p>0.05$ или $n$ мало.
- Используйте пуассон, если $p$ мал, $n$ велико и $\lambda =np$ невелик (типично $np\le 5$–$10$) И/ИЛИ если $2n{p}^2$ меньше приемлемой погрешности (например $<0.01$).
Пример: $n=1000,p=0.001$ ($\lambda =1$) — пуассон хорошо.
- Используйте симуляцию, если:
- события/зависимости не соответствуют независимым Бернулли (тогда биномиальная модель некорректна);
- требуется оценка сложного функционала (например вероятность объединения сложных событий);
- вероятность экстремально мала (например $10^{-6}$ и меньше) — прямая симуляция без variance‑reduction неэффективна, применяйте importance sampling или другие методы.
4) Практические замечания
- Вычислительная точность: при очень больших $n$ и экстремальных $k$ может возникнуть числовая нестабильность при вычислении биномиальных вероятностей — используйте логарифмические формулы или стандартные библиотечные функции (R::dbinom, scipy.stats).
- Если нужно гарантировать погрешность, оцените $2n{p}^2$ и/или сравните несколько первых моментов/хвостов между биномиальной и пуассоновой точечно.
Короткая «дерево решений»
- Модель независимая Бернулли и надо точно → биномиальная.
- $p$ очень мал, $n$ велик, $\lambda =np$ умеренно маленько, и $2n{p}^2$ мало → пуассон.
- Модель сложная или оцениваемая вероятность экстремально мала → симуляция с методами уменьшения дисперсии.
Если хотите, могу дать конкретный выбор для ваших чисел $n$ и $p$ и оценить погрешность приближения.