Кратко — набор эквивалентных геометрических критериев и короткие объяснения, как ими пользоваться (без введения координат).
Пусть точки обозначены $A,B,C,D$.
1) Угловой критерий (самый простой).
- Для вписанного четырёхугольника равны вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, поэтому для выпуклого четырёхугольника
$$\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ }$$ или равенство направленных углов
$$\measuredangle ABC=\measuredangle ADC(\mathrm{mod}180^{\circ }).$$ - Обоснование: если все четыре на одной окружности, то углы, опирающиеся на дугу $AC$, равны. Обратно, если такие углы равны (или сумма противоположных равна $180^{\circ }$), то точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности.
2) Теорема о пересечении середин (центр окружности).
- Точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда пересечения середин хотя бы трёх отрезков из набора $AB,BC,CD,DA$ совпадают (т. е. три перпендикулярные биссектрисы пересекаются в одной точке). Тогда эта точка — центр окружности, проходящей через все четыре вершины.
3) Критерий через произведения отрезков (теорема о секущих / мощность точки).
- Пусть диагонали пересекаются в точке $X$. Тогда
$$XA\cdot XC=XB\cdot XD$$ тогда и только тогда, когда точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности.
- Обоснование: в окружности произведение отрезков пересекающихся хорд равно; обратное — если для пересечения диагоналей выполнено равенство, то существует окружность через три из точек, на которой четвёртая также лежит.
4) Птолемеева теорема (для выпуклого четырёхугольника).
- Четырехугольник $ABCD$ выпуклый и вписан в окружность тогда и только тогда, когда выполняется
$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC.$$ - Обоснование: это классическая теорема Птолемея и её обратное утверждение.
5) Критерий равенства углов на одной хорде (альтернативная формулировка).
- Для любых трёх точек $A,C,B$ равенство $\angle ACB=\angle ADB$ (углы, опирающиеся на хорду $AB$) тоже эквивалентно конциклити (с учётом направленности).
Дополнение: более общий/алгебраический вариант — комплексная проекция / кросс-отношение: точки $A,B,C,D$ концикличны тогда и только тогда, когда кросс-отношение $(A,B;C,D)$ вещественно. Это полезно в теоретических рассуждениях, но не обязателен для классической геометрии.
Выбирайте критерий в зависимости от данных задачи: если известны углы — пункт 1; если известны длины — Птолемей (3) или мощность точки (2/3); если нужно построить центр — пункт 2.