Кратко — какие результаты применимы, какие дают оценки и где ограничения.
Основные теоремы и формулы
- Дирихле (1837): в арифметической прогрессии $an+b$ с $\gcd (a,b)=1$ — бесконечно много простых.
- Теорема о простых в прогрессиях (Hadamard — de la Vallée Poussin): для фиксированного модуля $q=a$ при $x\to \infty$ $$\pi (x;q,a)\sim \frac{\mathrm{li}(x)}{\phi (q)}.$$ Это даёт асимптотику при фиксированном $q$.
- Более точные формы (непрерывность через логарифмическую производную $L$-функций, явные формулы) дают ошибочные члены, связанные с нулями $L(s,\chi )$.
Условные и усреднённые улучшения
- Гипотеза о Римановских нулях для всех Дирихле-символьных $L$-функций (GRH) даёт сильную оценку погрешности:
$$\psi (x;q,a)=\frac{x}{\phi (q)}+O(x^{1/2}{\log }^2(xq)),$$ и аналогично для $\pi (x;q,a)$. Это даёт равномерность по $q$ почти до $q\ll x^{1-\epsilon }$.
- Теорема Сигеля–Вальдзвица (Siegel–Walfisz): без гипотезы, но с плохой неэффективной константой, для любых фиксированных $A>0$ и $q\le (\log x{)}^A$ $$\pi (x;q,a)=\frac{\mathrm{li}(x)}{\phi (q)}+O\left(x\exp (-c\sqrt{\log x})\right).$$ Ограничение: неэффективность из‑за возможных «сигелевых нулей».
- Бомбьери–Виноградов (Bombieri–Vinogradov): «GRH в среднем». Для любого $A>0$ существует $B$ такое, что при
$$Q\le \frac{x^{1/2}}{(\log x{)}^B}$$ выполняется
∑q≤Qmax⁡(a,q)=1∣π(x;q,a)−li⁡(x)φ(q)∣≪x(log⁡x)A. \sum_{q\le Q}\max_{(a,q)=1}\Big|\pi(x;q,a)-\frac{\operatorname{li}(x)}{\varphi(q)}\Big|\ll\frac{x}{(\log x)^A}.
q≤Q∑ (a,q)=1max π(x;q,a)−φ(q)li(x) ≪(logx)Ax . То есть PNT для прогрессий верна в среднем по модулю до порядка $x^{1/2}$.
- Конъектура Эллиотта–Хальберштама (Elliott–Halberstam) предсказывает такой же результат с $Q$ почти до $x^{1-\epsilon }$. Это существенно усилило бы многие приложения (например, к проблемам малых разностей между простыми).
Ограничения и практические оценки
- Сигелевы нули: возможный реальный ноль $L(s,\chi )$ очень близко к $s=1$ делает многие неэффективные результаты (постоянные в оценках) неявными и ухудшает равномерность по $q$.
- Для больших $q$ (например, $q$ растёт с $x$ быстрее чем полуволна $x^{1/2}$) текущие безусловные методы дают слабые оценки. Обычно либо используются усреднение (Bombieri–Vinogradov), либо верхние оценки Бруна–Титчмарша:
$$\pi (x;q,a)\le \frac{2x}{\phi (q)\log (x/q)}(x>q),$$ дающий хороший верхний предел, но не дающий соответствующих нижних оценок в общем случае.
- Теоремы о плотности нулей и большой ситовой технике дают частичные улучшения ошибок и диапазонов $q$, но не заменяют GRH.
- Теорема Линника о наименьшем простом в прогрессии: существует $L$ такое, что наименьший первообразный простой $p\equiv a(\mathrm{mod}q)$ удовлетворяет $p\ll q^L$. Это эффективное утверждение, но конкретное значение $L$ исторически улучшалось; современно — порядка несколько единиц (работы типа Xylouris и др.).
Короткое резюме по применимости
- Если нужно лишь показать бесконечность простых — Dirichlet достаточно.
- Для асимптотики при фиксированном $q$ — PNT для прогрессий (Hadamard–de la Vallée Poussin).
- Для равномерности по модулю $q$ малых величин ($q\le (\log x{)}^A$) — Siegel–Walfisz (неэффективно).
- Для равномерности в среднем до $Q\approx x^{1/2}$ — Bombieri–Vinogradov (без гипотез).
- Для сильных равномерных оценок до $q$ почти как $x$ — нужна GRH; для расширения среднего диапазона до почти $x$ нужна конъектура Эллиотта–Хальберштама.
- Для коротких интервалов и точных нижних оценок при больших $q$ текущие методы ограничены (Brun–Titchmarsh даёт только верхние границы).
Если нужно, могу привести конкретные формулы ошибок в каждом случае или указать ключевые ссылки (Davenport, Iwaniec–Kowalski и т.д.).