Коротко и точно:
Правильная формулировка:
Если $a$ — предельная (склейная) точка области определения функций $f$ и $g$, функции определены в некоторой проколотой окрестности точки $a$, ${\lim }_{x\to a}f(x)=L$ и существует $\delta >0$ такое, что для всех $x$ выполняется $0<|x-a|<\delta \Rightarrow g(x)=f(x)$, то ${\lim }_{x\to a}g(x)=L$.
Тонкости и пояснение:
- Важно требование, что $a$ — предельная точка области определения (иначе условие предела может быть вакуумно истинно).
- Достаточно, чтобы $g$ совпадала с $f$ на некоторой проколотой окрестности точки $a$ (а не только «за исключением точки $a$» в смысле одной точки везде — это слишком расплывчато).
Короткая причина: по определению предела для любого $\epsilon >0$ найдётся $\delta$ с $|f(x)-L|<\epsilon$ при $0<|x-a|<\delta$; раз $g(x)=f(x)$ на этой проколотой окрестности, то и $|g(x)-L|<\epsilon$.