Определение: гармонический ряд (частичная сумма)
$$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}.$$
Ассимптотика (Эйлер—Маклорен): для больших $n$ $$H_n=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots ,$$ или в общем виде
$$H_n=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\sum _{k\ge 1}\frac{B_{2k}}{2k{n}^{2k}},$$ где $B_{2k}$ — числа Бернулли. Число Эйлера—Маскерони $\gamma \approx 0.5772156649$.
Простые оценки:
$$\ln (n+1)\le H_n\le 1+\ln n$$ (интегральное сравнение), и уточнённая оценка остатка
$$\frac{1}{2(n+1)}<H_n-\ln n-\gamma <\frac{1}{2n},$$ откуда видно, что при приближении $H_n\approx \ln n+\gamma$ ошибка порядка $O(1/n)$.
Практические рекомендации для больших $n$:
- Для быстрой и достаточно точной оценки достаточно двух первых поправок:
$$H_n\approx \ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2},$$ ошибка тогда $O(1/n^4)$.
- Для высокой точности берут ещё члены с числами Бернулли по формуле Эйлера—Маклорена.
- На практике ещё удобнее и точнее вычислять через дигамма-функцию:
$$H_n=\psi (n+1)+\gamma ,$$ где $\psi$ — производная логарифма гамма-функции; большинство библиотек даёт $\psi$ с высокой точностью.
Вывод: лучшая стратегия для больших $n$ — использовать асимптотику Эйлера—Маклорена с несколькими членами или встроенную функцию $\psi$; приближение $\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}$ даёт хорошее соотношение точности и простоты.