Кратко и по делу.
Методы решения (кратко):
- Алгебраическое возведение в квадрат с учётом области определения.
- Подстановка $t=\sqrt{x+3}$ (с учётом $t\ge 0$).
- Графический: пересечение $y=\sqrt{x+3}$ и $y=x-1$.
- Анализ монотонности функции $f(x)=\sqrt{x+3}-x+1$.
Решение (алгебрачески):
1. Область определения: $x+3\ge 0\Rightarrow x\ge -3$. Поскольку $\sqrt{\cdot }\ge 0$, из уравнения следует дополнительно $x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1$. Итого возможные решения лежат в $[1,\infty )$.
2. При $x\ge 1$ можно возвести в квадрат: $(\sqrt{x+3}{)}^2=(x-1{)}^2\Rightarrow x+3=x^2-2x+1$.
3. Приведём к квадратному: $x^2-3x-2=0$. Дискриминант $D=9+8=17$. Корни
$$x=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}.$$ 4. Из них $x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\approx 3.5615\in [1,\infty )$, $x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\approx -0.5615\notin [1,\infty )$. Поэтому подстановкой в исходное уравнение остаётся единственный корень
$$x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}.$$
Почему появляется «посторонний» корень: при возведении в квадрат мы теряем информацию о знаках; корень $x_2$ удовлетворяет квадратному, но не исходному неравенству $x-1\ge 0$, поэтому он посторонний.
Формальное доказательство полноты множества решений:
- Любое решение исходного уравнения обязано удовлетворять $x\ge 1$ (см. выше). Для таких $x$ операция возведения в квадрат обратима по отношению к знакам (поскольку обе стороны неотрицательны), следовательно исходное уравнение эквивалентно квадратному на множестве $[1,\infty )$.
- Следовательно множество решений исходного равно множеству корней квадратного уравнения, лежащих в $[1,\infty )$. Как показано, это единственный корень $x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$. Значит решение полное и уникальное.
Альтернативная подстановка (коротко): $t=\sqrt{x+3}\ge 0$ даёт $t=t^2-4\Rightarrow t^2-t-4=0$, из корней только $t=\frac{1+\sqrt{17}}{2}>0$ даёт $x=t^2-3=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$.
Итог: единственный корень исходного уравнения
$$x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}.$$