Пусть квадрат со стороной $a$. Обозначим вершины так, что один из треугольников — $AOB$ (пересечение диагоналей в точке $O$). Ниже — четыре различных способа вычислить его площадь и краткое сравнение.
1) Симметрия (самый простой)
- Диагонали делят квадрат на четыре равные по площади треугольника, значит
$$S=\frac{1}{4}\cdot a^2=\frac{a^2}{4}.$$
2) Основание и высота
- Взять основание $AB$ длины $a$. Высота от $O$ на $AB$ равна расстоянию от центра квадрата до стороны, то есть $\frac{a}{2}$. Тогда
$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2}{4}.$$
3) Как прямоугольный треугольник (через длины катетов)
- Векторы $OA$ и $OB$ перпендикулярны, их длины равны половине диагонали: $|OA|=|OB|=\frac{\sqrt{2}a}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Значит
$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^2}{4}.$$
4) Координатный метод / формула площади по вершинам (универсально)
- Положим $A(0,0)$, $O\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$, $B(a,0)$. По формуле площадей (шузлер/детерминант)
S=12∣x1y2+x2y3+x3y1−x2y1−x3y2−x1y3∣=a24. S=\frac{1}{2}\big|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_2y_1-x_3y_2-x_1y_3\big|
=\frac{a^2}{4}.
S=21 x1 y2 +x2 y3 +x3 y1 −x2 y1 −x3 y2 −x1 y3 =4a2 . (То же можно получить как $S=\frac{1}{2}|OA\times OB|$.)
Сравнение преимуществ
- Симметрия: самый быстрый и наглядный способ, требует только понимания равенства частей; годится при явной симметрии.
- Основание–высота: интуитивно и просто, когда легко найти высоту; удобен для чертежей.
- Прямоугольный треугольник / катеты: полезен, если видна прямой угол в вершине и известна длина радиуса/половины диагонали; даёт прямую вычислимость через Пифагор.
- Координатный / детерминантный метод: универсален, хорошо для вычислений при произвольных координатах или программной реализации; устойчив к отсутствию очевидной симметрии.
Во всех случаях итог: $S=\frac{a^2}{4}$.